Vì $x - 3y = 0$ nên $x = 3y$.

Vậy nghiệm của phương trình $x - 3y = 0$ là $x = 3y,y \in \mathbb{R}$.

Đáp án B

Ta có: $\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

+) $2x - 3 = 0$ suy ra $2x = 3$ nên $x = \frac{3}{2}$.

+) $x + 2 = 0$ suy ra $x =  - 2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3}{2}$; $x =  - 2$.

Đáp án A

Bất phương trình $- 4x - 2 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án C

$\sqrt {25}  = 5$.

Đáp án A

Điều kiện xác định của $\sqrt {2x - 1}$ là $2x - 1 \ge 0$ hay $x \ge \frac{1}{2}$.

Đáp án B

$\begin{array}{l}\frac{2}{{\sqrt 7  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt 7  + 3}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt 7  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - 3} \right)\left( {\sqrt 7  + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt 7  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - 3} \right)\left( {\sqrt 7  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt 7  + 3} \right) - 2\left( {\sqrt 7  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7  - 3} \right)\left( {\sqrt 7  + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt 7  + 6 - 2\sqrt 7  + 6}}{{7 - 9}}\\ = \frac{{12}}{{ - 2}} =  - 6\end{array}$

Đáp án C

$\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = x - 1$.

Đáp án D

Vì $A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 = {15^2} = B{C^2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

Mà tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{9}$.

Suy ra $\frac{{AH}}{9} = \frac{4}{5}$.

Do đó $AH = 9.\frac{4}{5} = \frac{{36}}{5} = 7,2\left( {cm} \right)$.

Đáp án B

Góc nội tiếp ABC chắn cung AC.

Đáp án B

Hình biểu diễn góc ở tâm là Hình 1.

Đáp án A

Đường tròn (O) có đường kính 8cm nên bán kính là $8:2 = 4cm$.

Cách 1. Vẽ đường tròn (O) và (O’) theo đề bài, ta được hình vẽ sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đường tròn tiếp xúc trong.

Cách 2. Vì O’ là trung điểm của OA nên OO’ = 4 : 2 = 2(cm).

Do đó hai đường tròn này tiếp xúc trong với nhau vì $OO' = OA - O'A = 4 - 2 = 2cm$.

Đáp án D

Hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài thì có 3 tiếp tuyến chung.

Đáp án C

a) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{x\sqrt x {\rm{\;}} - \sqrt x {\rm{\;}} + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right)$

$A = \frac{{x - 1 - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{x - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

b) Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0} \right).$

Đặt $B = \sqrt x {\rm{\;}} + 1$, để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2.

Vì $x \ge 0$ nên $B > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}$, suy ra B là ước nguyên dương của 2.

Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}$

TH1: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 1$ suy ra $x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)$

TH2: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 2$ suy ra $x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)$

Vậy $x = 0$ thì A nguyên.

c)  Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

Vì $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt x {\rm{\;}} \ge 0} \right)$ nên  $\frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le \frac{2}{1}$

Suy ra $- \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 2$

Do đó $1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 1$ hay $A \ge {\rm{\;}} - 1$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 0.$

Vậy $\min A = {\rm{\;}} - 1$ khi $x = 0$.

Gọi giá tiền một chiếc bánh và một ly nước lần lượt là $x,y$ nghìn đồng ($x,y \in {\mathbb{N}^*};y > 8$)

Vì Tâm mua $6$ chiếc bánh và $3$ ly nước, Hiếu mua $5$ chiếc bánh và $3$ ly nước nên tổng số bánh và nước hai bạn mua là 11 chiếc bánh và 6 ly nước. Tổng số tiền ăn uống của hai bạn là 252 nghìn đồng nên ta có phương trình: $11x + 6y = 252$.

Vì giá tiền của một ly nước cao hơn giá tiền của một chiếc bánh là $8$ nghìn đồng nên $y - x = 8$ hay $- x + y = 8$.

 Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 8}\\{11x + 6y = 252}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 8 + x}\\{11x + 6\left( {8 + x} \right) = 252}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 8 + x\\17x = 204\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8 + 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 12(TM)\\y = 20(TM)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy giá một chiếc bánh là $12$ nghìn đồng, giá một ly nước là $20$ nghìn đồng.

Vì góc ở tâm $AOB$ bằng $90^\circ$ nên tam giác OAB vuông tại O.

+ Diện tích tam giác $OAB$ là:

${S_1} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

+ Do sđ$\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}=90{}^\circ$ nên diện tích hình quạt tròn $OAB$ tương ứng là:

${S_2} = \frac{{\pi  \cdot {2^2} \cdot 90}}{{360}} = \pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Suy ra diện tích hình viên phân là:

${S_3} = {S_2} - {S_1} = \pi  - 2\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Diện tích của họa tiết trang trí đó là:

$S = 2{S_3} = 2\left( {\pi  - 2} \right) \approx 2,28\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích của họa tiết trang trí đó khoảng $2,28d{m^2}$.

Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này cắt DE tại I.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có ID = IA = IE nên $\Delta DAE$ vuông tại A. Suy ra $\widehat {DAE} = 90^\circ$.

b) Vì AB và AC là các đường kính của (O) và (O’) nên $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ$.

Mà $\widehat {DAE} = 90^\circ$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

c) Vì tứ giác ADME là hình chữ nhật nên 3 điểm M, I, A thẳng hàng.

Do vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường trong (O); (O’).

Ta có: OA = OC = 20cm.

Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Gọi AB và AC là hai đoạn biểu diễn mặt tường và mặt đất tiếp xúc với đường tròn (O), khi đó AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn (O).

Vì $\widehat {BAC} = 60^\circ$ nên $\widehat {BAO} = \widehat {CAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tam giác ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên $AB \bot OB$), ta có:

$\sin BAO = \frac{{OB}}{{AO}}$ (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

Suy ra $AO = \frac{{OB}}{{\sin BAO}} = \frac{{20}}{{\sin 30^\circ }} = 40\left( {cm} \right)$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ bánh xe đến góc tường là 40cm.