Vì $\left\{ \begin{array}{l}4 + 2 = 6\\4 - 2 = 2\end{array} \right.$ nên cặp số $\left( {4;2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\x - y = 2\end{array} \right.$.

Đáp án A.

Vế trái của bất đẳng thức là $a + 1$.

Đáp án A.

Vì $1 < 2$ nên $1 < \sqrt 2$ suy ra $1 + 1 < 1 + \sqrt 2$ hay $2 < 1 + \sqrt 2$.

Đáp án D.

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {x - 10}$ là $x - 10 \ge 0$ hay $x \ge 10$.

Đáp án C.

$\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}}  = \left| {3 - 2x} \right| = \left| {2x - 3} \right|$.

Đáp án C.

$\sqrt {\frac{2}{{5{a^3}}}}  = \sqrt {\frac{{2.5a}}{{25{a^4}}}}  = \sqrt {\frac{{10a}}{{{{\left( {5{a^2}} \right)}^2}}}}  = \frac{{\sqrt {10a} }}{{5{a^2}}}$.

Đáp án A.

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{27{x^3}}} - \sqrt[3]{{8{x^3}}} + 4x\\ = \sqrt[3]{{{{\left( {3x} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2x} \right)}^3}}} + 4x\\ = 3x - 2x + 4x = 5x.\end{array}$

Đáp án D.

Vì $37^\circ$ và $53^\circ$ là hai góc phụ nhau nên $\sin 37^\circ  = \cos 53^\circ ;$ $\cos 37^\circ  = \sin 53^\circ ;$ $\tan 37^\circ  = \cot 53^\circ ;$ $\tan 53^\circ  = \cot 37^\circ$.

Đáp án B.

Cung cả đường tròn có số đo là $360^\circ$.

Đáp án A.

Vì góc BOC là góc ở tâm nên sđ$\overset\frown{BmC}=\widehat{BOC}=110{}^\circ$.

Số đo cung lớn $\overset\frown{BnC}$ là:

$360^\circ  - 110^\circ  = 250^\circ$.

Đáp án D.

Diện tích hình quạt tròn đó là: ${S_q} = \frac{{\pi {{.6}^2}.36}}{{360}} = 3,6\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Đáp án B.

Vì hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất). Vậy A đúng.

Gọi H là giao điểm của BC và AO.

Xét tam giác BOH và tam giác COH có:

OB = OC

$\widehat {BOH} = \widehat {COH}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OH chung

nên $\Delta BOH = \Delta COH$ suy ra $\widehat {BHO} = \widehat {CHO}$.

Mà hai góc kề bù nên $\widehat {BHO} = \widehat {CHO} = \frac{1}{2}.180^\circ  = 90^\circ$.

Suy ra $OA \bot BC$. Vậy B đúng.

Vì BH = HC (hai cạnh tương ứng) và $OA \bot BC$ nên OA là đường trung trực của BC. Vậy C đúng.

Vậy D sai.

Đáp án D.

a) Với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$ Ta có:

$A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}} \right)$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\left( {\frac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 3} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}} \right)$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 3}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.$

b) $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 - 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}\left( {x \ge 0} \right)$

Để $A \in \mathbb{Z}$ với x nguyên thì $\sqrt x {\rm{\;}} + 1$ là ước nguyên dương của 3 do $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0$

Ư(3) = {1;3} nên:

+) Với $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 1$ suy ra $\sqrt x  = 0$ nên $x = 0$ (TM).

+) Với $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 3$ suy ra $\sqrt x  = 2$ nên $x = 4$ (KTM).

Vậy với $x = 0$ thì $A \in \mathbb{Z}$.

c) Vì $A < 0$ nên $\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} < 0$.

Do $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0$ nên $\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} < 0$ khi $\sqrt x {\rm{\;}} - 2 < 0$ hay $x < 4$.

Kết với $x \ge 0$, suy ra $A < 0$ khi $0 \le x < 4$.

Vậy $0 \le x < 4$ thì $A < 0.$

Gọi giá tiền một quả trứng gà và một quả trứng vịt lần lượt là $x$ và $y$ đồng ($x;y \in \mathbb{N}$)

Vì mua $24$ quả trứng gà và $13$ quả trứng vịt hết $91200$ đồng nên ta có phương trình:

$24x + 13y = 91200$.

Vì mua $48$ quả trứng gà và $36$ quả trứng vịt hết $206400$ đồng nên ta có phương trình:

$48x + 36y = 206400$ hay $4x + 3y = 17200$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{24x + 13y = 91200}\\{4x + 3y = 17200}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{24x + 13y = 91200}\\{24x + 18y = 103200}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}5y = 12000\\4x + 3y = 17200\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2400\\4x + 3.2400 = 17200\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2400(TM)\\x = 2500(TM)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy số tiền mua $22$ quả trứng gà và $40$ quả trứng vịt là: $2500.22 + 2400.40 = 151000$ đồng.

Bán kính của hai đường tròn nhỏ và lớn lần lượt là: $\frac{{15}}{2} = 7,5\left( {mm} \right)$ và $\frac{{17}}{2} = 8,5\left( {mm} \right)$

Phần diện tích cần tính là diện tích của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O có đường kính lần lượt là 17mm và 15mm.

Vậy diện tích bề mặt là:  

$S = \pi \left( {8,{5^2} - 7,{5^2}} \right) \approx 3,14.16 = 50,24\left( {m{m^2}} \right)$

Vậy diện tích một bề mặt của chiếc nhẫn là $50,24m{m^2}$.

a) Vì AB là đường kính của (O) và $C \in \left( O \right)$ suy ra $\Delta ABC$ vuông tại C.

Vì CH vuông góc với AB tại H nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$CH = AC.\sin A$ (tam giác ACH vuông tại H)

và $CH = BC.\cos \widehat {HCB}$ (tam giác CHB vuông tại H).

Mà $\widehat {CAB} = \widehat {HCB}$ (cùng phụ với $\widehat {ACH}$) nên $\cos \widehat {CAB} = \cos \widehat {HCB}$ hay $\cos A = \cos \widehat {HCB}$. Do đó $CH = BC.\cos A$.

Do đó $C{H^2} = \left( {AC.\sin A} \right)\left( {BC.\cos A} \right) = AC.BC.\sin A.\cos A$.

b) Ta có $CI = IA = ID$ (đường trung truyến trong tam giác vuông)

Xét tam giác IAO và tam giác ICO có:

AO = OC = R

IA = IC (cmt)

OI chung

Suy ra $\Delta IAO = \Delta ICO\left( {c.c.c} \right)$, do đó $\widehat {IOA} = \widehat {ICO} = 90^\circ$ hay $IC \bot OC$ tại C.

Vậy IC là tiếp tuyến của (O) tại điểm C.

c) Theo ý b, ta có $\Delta AIO = \Delta CIO$ (c.c.c).

Chứng minh tương tự, ta có $\Delta KCO = \Delta KBO$ (c.c.c).

Mà ${S_{AIKB}} = {S_{\Delta AIO}} + {S_{\Delta CIO}} + {S_{\Delta COK}} + {S_{\Delta KOB}} = 2\left( {{S_{\Delta CIO}} + {S_{\Delta COK}}} \right)$

Suy ra ${S_{AIKB}} = 2.{S_{\Delta IOK}} = OC.IK = R.IK \ge R.AB = R.2R = 2{R^2}$

Dấu “=” xảy ra khi IK = AB. Khi đó C là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$.

Vậy ${S_{AIKB}}$ có giá trị lớn nhất là $2{R^2}$ khi C là điểm chính giữa $\overset\frown{AB}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k {\mkern 1mu} \\ = \sqrt k .\sqrt {k - 1} .\left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\end{array}$

$= \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)$ với $k \ge 1$.

Suy ra

$\begin{array}{l}\frac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt k }}\end{array}$ 

Thay lại vào A ta được:

$A = \frac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2025\sqrt {2024}  + 2024\sqrt {2025} }}$${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} \left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ..... + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2024} }} - \frac{1}{{\sqrt {2025} }}} \right)$

${\mkern 1mu}  = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2025} }} = 1 - \frac{1}{{45}} = \frac{{44}}{{45}}$.

Vậy $A = \frac{{44}}{{45}}$.