Ta có $\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Ta có: ${u_1} = 1$; ${u_2} = 2.1 + 3 = 5$;

${u_3} = 2.5 + 3 = 13$; ${u_4} = 2.13 + 3 = 29$.

Ta có ${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 3 = 1 + d \Leftrightarrow d = 2$.

Suy ra ${u_3} = {u_2} + d = 3 + 2 = 5$.

${u_2} = {u_1}q = 3.2 = 6$.

Ta có: $\lim \frac{{n + 1}}{n} = 1$; $\lim \frac{1}{n} = 0$; $\lim 2023 = 2023$; $\lim \frac{{2n + 3}}{n} = 2$.

Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$, do đó hàm số không liên tục tại ${x_0} = 2$.

Điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau là đồng phẳng và không có điểm chung.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//BC.

Mà $MN\not{ \subset }(BCD)$, $BC \subset (BCD)$.

Suy ra MN//(BCD).

Giá trị đại diện của nhóm thứ hai là $\frac{{7 + 9}}{2} = 8$.

Số học sinh có chiều cao từ 168 cm trở lên là 8 + 3 = 11.

a) Đúng. $\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$ nên tia cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.

Khi đó: $\sin \alpha  < 0$, $\cos \alpha  > 0$. Suy ra $\cot \alpha  < 0$.

b) Sai. $\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha$.

c) Đúng. Ta có ${\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Vì $\cos \alpha  > 0$ nên $\cos \alpha  = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}}  = \frac{4}{5}$.

d) Đúng. Ta có: ${\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha$

$= 1 + \sin 2\alpha  = 1 + \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}$.

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{{7^n} + {4^n}{{.2}^{ - 1}} + {3^n}.3}}{{{7^n}.7 + {5^n}{{.5}^{ - 1}}}}$

$= \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}{{.2}^{ - 1}} + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}.3}}{{1.7 + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}{{.5}^{ - 1}}}} = \frac{{1 + 0 + 0}}{{7 + 0}} = \frac{1}{7}$.

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{1}{7}$ hay a = 1, b = 7.

a) Đúng. a + b = 1 + 7 = 8.

b) Sai. a – b = 1 – 6 = -6.

c) Sai. 1; 7; 13 tạo thành cấp số cộng có công sai bằng d = 6.

d) Đúng. 1; 7; 49 tạo thành cấp số nhân có công bội q = 7.

a) Đúng. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN//AD.

Mà AD//BC vì ABCD là hình thang có hai đáy AD, BC.

Suy ra MN//BC.

b) Đúng. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\S \in (SAD) \cap (SBC)\end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S, song song với AD, BC.

c) Đúng. Vì $E \in AB \subset (SAB)$ suy ra $ME \subset (SAB)$.

Xét trong mặt phẳng (SAB) có $\{ F\}  = SB \cap ME$ (giả thiết) nên $F \in SB$ (1)

Vì $E \in CD \subset (MCD)$ nên $ME \subset (MCD)$.

Mà $F \in ME$ suy ra $F \in (MCD)$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $SB \cap (MCD) = \{ F\}$.

d) Sai. Ta có $S \in (SAB) \cap (SCD)$.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset (SAB)\\E \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.$ suy ra $E \in (SAB) \cap (SCD)$.

Vậy SE là giao tuyến của (SAB) và (SCD).

a) Sai. n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

b) Đúng. Nhóm chứa mốt là [8;8,5).

c) Sai. ${M_o} = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right)\left( {24 - 13} \right)}}.\left( {8,5 - 8} \right) = \frac{{177}}{{22}} = 8,0(45)$.

d) Đúng. $\overline x  = \frac{{6,75.8 + 7,25.10 + 7,75.16 + 8,25.24 + 8,75.13 + 9,25.7 + 9,75.4}}{{82}} = \frac{{333}}{{41}} \approx 8,122$.

Mực nước thấp nhất khi $h = \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) + 5$ nhỏ nhất, hay $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right)$ nhỏ nhất.

Khi đó $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) =  - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \pi  + k2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{t}{6} = 1 + 12k \Leftrightarrow t = 6 + 12k$.

Ta có $0 \le t < 24 \Leftrightarrow 0 \le 6 + 12k < 24 \Leftrightarrow  - 6 \le 12k < 18 \Leftrightarrow  - 2 \le k < \frac{3}{2}$.

Vậy k = 0 hoặc k = 1.

Với k = 0 thì t = 6 + 12.0 = 6.

Với k = 1 thì t = 6 + 12.1 = 18.

Vậy mực nước của kênh thấp nhất trễ nhất vào thời điểm t = 18 (giờ).

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1600$ và d = 400.

Tổng số ghế trong rạp là:

$222000 = \frac{{n\left[ {2.1600 + (n - 1).400} \right]}}{2} \Leftrightarrow 444000 = n\left( {2800 + 400n} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n =  - 37\end{array} \right.$

Giá trị n thỏa mãn là n = 30.

Vậy cần thiết kế ít nhất 30 hàng ghế.

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 135\\{u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2}) = 135\\{u_1}{q^3}(1 + q + {q^2}) = 40\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow {q^3} = \frac{{40}}{{135}} \Leftrightarrow q = \frac{2}{3}$.

Suy ra a = 2, b = 3. Vậy a + b = 2 + 3 = 5.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = f( - 2) = b - 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{a(x + 2)}}{{{x^3} + 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{a(x + 2)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{a}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{a}{{{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 4}} = \frac{a}{{12}}$.

Để hàm số liên tục tại x = -2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = f( - 2)$.

Suy ra $\frac{a}{{12}} = b - 4 \Leftrightarrow a = 12b - 48 \Leftrightarrow a - 12b =  - 48$.

Vì PD = 2PC nên $\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3}$.

Xét trong mặt phẳng (BCD) có NP không song song với BD do $\frac{{CN}}{{CB}} \ne \frac{{CP}}{{CD}}$ $\left( {\frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}} \right)$.

Giả sử NP cắt BD tại H. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}H \in NP \subset (MNP)\\H \in BD \subset (ABD)\end{array} \right.$ suy ra $H \in (MNP) \cap (ABD)$ (1)

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\H \in AB \subset (ABD)\end{array} \right.$ suy ra $M \in (MNP) \cap (ABD)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra MH là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

Xét trong mặt phẳng (ABD), giả sử MH cắt AD tại Q’.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}Q' \in MH \subset (MNP)\\Q' \in AD\end{array} \right.$, suy ra Q’ là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP).

Do đó Q’ trùng Q.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//AC.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (ACD) = AC\\(ABC) \cap (MNP) = MN\\(ACD) \cap (MNP) = PQ\\MN//AC\end{array} \right.$ suy ra PQ//MN//AC.

Xét tam giác ACD có PQ//AC: $\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.

Cỡ mẫu: n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{33}}$ là số thời gian thực hiện cuộc gọi sắp xếp theo thứ tự không giảm.

${Q_3} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$.

Vì ${x_{25}} \in [120;180)$ và ${x_{26}} \in [180;240)$ nên ${Q_3} = 180$.