A. Lý thuyết

1. Elip

a) Nhận biết elip

b) Phương trình chính tắc của elip

Chú ý:

- Elip (E) cắt Ox tại hai điểm ${A_1}( - a;0)$, ${A_2}(a;0)$ và cắt Oy tại hai điểm ${B_1}(0; - b)$, ${B_2}(0;b)$.

- Các điểm ${A_1}$, ${A_2}$, ${B_1}$, ${B_2}$ gọi là các đỉnh của elip.

- Đoạn thẳng ${A_1}{A_2}$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng ${B_1}{B_2}$ gọi là trục nhỏ của elip.

- Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

- Nếu $M(x;y) \in (E)$ thì $\left| x \right| \le a$, $\left| y \right| \le b$.

2. Hypebol

a) Nhận biết hypebol

b) Phương trình chính tắc của hypebol

Chú ý:

- Hypebol (H) cắt Ox tại hai điểm ${A_1}( - a;0)$, ${A_2}(a;0)$. Nếu vẽ hai điểm ${B_1}(0; - b)$, ${B_2}(0;b)$ vào hình chữ nhật $O{A_2}P{B_2}$ thì $OP = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = c$.

- Các điểm ${A_1}$, ${A_2}$ gọi là các đỉnh của hypebol.

- Đoạn thẳng ${A_1}{A_2}$ gọi là trục thực, đoạn thẳng ${B_1}{B_2}$ gọi là trục ảo của hypebol.

- Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

- Nếu $M(x;y) \in (H)$ thì $x \le  - a$, $x \ge a$.

3. Parabol

a) Nhận biết parabol

b) Phương trình chính tắc của parabol

Chú ý:

- O gọi là đỉnh của parabol (P).

- Ox gọi là trục đối xứng của (P).

- p gọi là tham số tiêu của (P).

- Nếu $M(x;y) \in (P)$ thì $x \ge 0$ và $M'(x; - y) \in (P)$..

B. Bài tập

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} =  - 1$

c) $\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1$

d) $\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$

Giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b  > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?

a) $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} =  - 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1$

c) $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1$

d) $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1$

Giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > 0, b  > 0 nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của hypebol.

Bài 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?

a) ${y^2} =  - 6x$

b) ${y^2} = 6x$

c) ${y^2} =  - 6y$

d) ${y^2} = 6y$

Giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng ${y^2} = 2px$, với p > 0 nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của parabol.

Bài 4: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải:

Ta có: ${a^2} = 25$, ${b^2} = 16$. Do đó $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3$. Vậy elip có hai tiêu điểm là ${F_1}( - 3;0)$, ${F_2}(3;0)$ và tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2c = 6$. Ta có $a = \sqrt {25}  = 5$ nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a = 10.

Bài 5: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có: ${a^2} = 9$, ${b^2} = 16$. Do đó $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5$. Vậy hypebol có hai tiêu điểm là ${F_1}( - 5;0)$, ${F_2}(5;0)$ và tiêu cự là $2c = 10$. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2a = 2\sqrt 9  = 6$.

Bài 6: Cho parabol (P): ${y^2} = x$.

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải:

a) Ta có $2p = 1$ nên $p = \frac{1}{2}$.

Parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x =  - \frac{1}{4}$.

b) Điểm $M({x_0};{y_0})$ thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi ${y_0}^2 = {x_0}$ và MF = 3. Do $MF = d(M,\Delta )$ nên $d(M,\Delta ) = 3$.

Mặt khác $\Delta :x =  - \frac{1}{4}$ và ${x_0} = {y_0}^2 \ge 0$ nên $3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}$.

Vậy ${x_0} = \frac{{11}}{4}$ và ${y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ hoặc ${y_0} =  - \frac{{\sqrt {11} }}{2}$.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là $\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$.

Bài 7: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là ${F_2}(5;0)$ và đi qua điểm M(0;3).

Giải:

Elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (a > b > 0).

Do ${F_2}(5;0)$ là một tiêu điểm của (E) nên c = 5.

Điểm M(0;3) nằm trên (E) nên $\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Do đó ${b^2} = 9$.

Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 9 + 25 = 34$.

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Bài 8: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là ${F_2}(6;0)$ và đi qua điểm A(4;0).

Giải:

Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Do ${F_2}(6;0)$ là một tiêu điểm của (H) nên c = 6.

Điểm A(4;0) nằm trên (H) nên $\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Do đó ${a^2} = 16$.

Suy ra ${b^2} = {c^2} - {a^2} = {6^2} - 16 = 20$.

Vậy hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1$.

Bài 9: Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết:

a) (P) có tiêu điểm là F(5;0).

b) (P) đi qua điểm M(2;1).

Giải:

Parabol (P) có phương trình chính tắc là ${y^2} = 2px$ (p > 0).

a) Do F(5;0) là tiêu điểm của (P) nên $\frac{p}{2} = 5$, tức là p = 10.

Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là ${y^2} = 20x$.

b) M(2;1) nằm trên (P) nên ${1^2} = 2p.2$, tức $p = \frac{1}{4}$.

Vậy parabol (P) có phương trình chính tắc là ${y^2} = \frac{x}{2}$.