I. Nhân hai số nguyên

1.Nhân hai số nguyên khác dấu

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left( { + a} \right).\left( { - b} \right) = - a.b$

$\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b$

Ví dụ:

a) $( - 20).5 = - \left( {20.5} \right) = - 100.$

b) $15.\left( { - 10} \right) = - \left( {15.10} \right) = - 150.$

c) $20.\left( { + 50} \right) + 4.\left( { - {\rm{ }}40} \right) = 1000 - (4.40) = 1000 - 160 = 840.$

2.Nhân hai số nguyên cùng dấu

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$, ta có:

$\left( { - a} \right).\left( { - b} \right) = ( + a).( + a) = a.b$

$\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b$

Ví dụ:

a) $( - 4).( - 15) = 4.15 = 60$

b) $\left( { + 2} \right).( + 5) = 2.5 = 10$.

II. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Nhận xét:

Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:

- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.

- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:

Chú ý:

+) $a.1 = 1.a = a$

+) $a.0 = 0.a = 0$

+) Cho hai số nguyên $x,\,\,y$:

Nếu $x.y = 0$ thì $x = 0$ hoặc $y = 0$.

Ví dụ 1:

a) $\left( { - 3} \right).5 = 5.\left( { - 3} \right) = - 15$

b) $\left[ {\left( { - 2} \right).7} \right].\left( { - 3} \right) = \left( { - 2} \right).\left[ {7.\left( { - 3} \right)} \right] = \left( { - 2} \right).\left( { - 21} \right) = 42$

c) $\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 5} \right).88 = \left( { - 5} \right).\left( {12 + 88} \right) = \left( { - 5} \right).100 = - 500$.

d) $\left( { - 9} \right).36 - ( - 9).26 = \left( { - 9} \right).\left( {36 - 26} \right) = \left( { - 9} \right).10 = - 90$

Ví dụ 2:

Nếu $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$ thì $x - 1 = 0$ hoặc $x + 5 = 0$.

Suy ra $x = 1$ hoặc $x = - 5$.

III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

1.Phép chia hết

Ví dụ:

$( - 15) = 3.( - 5)$ nên ta nói:

+) $- 15$ chia hết cho $( - 5)$

+) $- 15:( - 5) = 3$

+) $3$ là thương của phép chia $- 15$ cho $- 5$.

2.Phép chia hai số nguyên khác dấu

Ví dụ:

1. a) $( - 27):3 = - \left( {27:3} \right) = - 9$.
2. b) $36:\left( { - 9} \right) = - \left( {36:9} \right) = - 4$

3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.

Chú ý:

Cách nhận biết dấu của thương:

$\begin{array}{l}\left( + \right):\left( + \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( - \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( + \right) = \left( - \right)\\\left( + \right):\left( - \right) = \left( - \right)\end{array}$

Ví dụ:

1. a) $( - 36):( - 4) = 36:4 = 9$
2. b) $\left( { - 35} \right):( - 7) = 35:7 = 5$.

IV. Bội và ước của một số nguyên

Nhận xét:

- Nếu $a$ là bội của $b$ thì $- a$ cũng là bội của $b$.

- Nếu $b$ là ước của $a$ thì $- b$ cũng là ước của $a$.

Chú ý: Khi $c$ vừa là ước của $a$, vừa là ước của $b$ thì $c$ được gọi là ước chung của $a$ và $b$.

Kí hiệu ước chung của hai số nguyên $a,\,b$ là ƯC(a, b).

Ví dụ 1:

a) $5$ là một ước của $- 30$ vì $\left( { - 30} \right) \vdots 5$.

b) $- 42$ là một bội của $- 7$ vì $\left( { - 42} \right) \vdots \left( { - 7} \right)$.

Ví dụ 2:

a) Các ước của 4 là: $1;\, - 1;\,2;\, - 2;\,4;\, - 4$.

b) Các bội của 8 là: $0;\,8;\, - 8;\,16;\, - 16;...$

Ví dụ 3:

Ta thấy $1;\, - 1;\,2;\, - 2$ vừa là ước của $6$, vừa là ước của $4$ nên chúng gọi là ước chung của $6$ và $4$.

Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.