Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = t\left( {1 \le t \le 4} \right)$ (H.4.3).

a) Tính diện tích S của T khi $t = 4$.

b) Tính diện tích S(t) của T khi $t \in \left[ {1;4} \right]$.

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]$ và diện tích $S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)$.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 2$. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi $x \in \left[ {1;2} \right]$, gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho $h > 0$ sao cho $x + h < 2$. So sánh hiệu $S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: $0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}$.

b) Cho $h < 0$ sao cho $x + h > 1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right)$ và từ đó suy ra $2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0$.

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $h \ne 0$, ta có

$\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}$.

Từ đó chứng minh $S'\left( x \right) = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)$. Người ta chứng minh được $S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4$, tức là S(x) là một nguyên hàm của ${x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$.

d) Từ kết quả của phần c, ta có $S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C$. Sử dụng điều này với lưu ý $S\left( 1 \right) = 0$ và diện tích cần tính $S = S\left( 2 \right)$, hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của $f\left( x \right) = {x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$. Hãy so sánh S và $F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 14 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Chứng minh rằng $F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) - G\left( a \right)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính:

a) $\int\limits_0^1 {{e^x}dx}$;

b) $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx}$;

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$;

b) $\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx}$.

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.