Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$
• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm ${x_i}$(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là $- \infty$, b có thể là $+ \infty$ ) và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(${x_0}$) $\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)$ và $x \ne {x_0}$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại ${x_0}$
• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(${x_0}$) $\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)$ và $x \ne {x_0}$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại ${x_0}$

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$. Khi đó:

• Nếu f’(x) < 0 $\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và f’(x) > 0 $\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
• Nếu f’(x) > 0 $\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và f’(x) < 0 $\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì ${x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x)