Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;1); nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (1;+∞).

Ta có đây là đồ thị hàm số bậc 3 dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) vì có 2 điểm cực trị, hệ số a < 0 (vì nhánh cuối đồ thị đi xuống).

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = f(1) = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{[0;2]} f(x) = f(0) = 0\). Vậy M – m = 3 – 0 = 3.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} f(x) =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) =  + \infty \) nên x = -1, x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{x} = x + 2 - \frac{1}{x} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{x} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận ngang y = 3, suy ra tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận có tọa độ (-2;3).

Câu B sai vì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \) đúng với mọi điểm A, B, C, D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị nhận x = -3 là tiệm cận đứng và y = 2 là tiệm cận ngang. Loại A, B.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Xét hàm số \(y = \frac{{2x + 7}}{{x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x + 3)}^2}}} < 0\) \((\forall x \ne  - 3)\), ta loại đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \) nên a < 0. Loại B.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d < 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\). Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1} > 0,x{}_2 > 0\).

Mặt khác, \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b > 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)

Ta thấy trên khoảng (0;3), f’(x) mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3). Suy ra f(0) > f(3).

Ta có: EG//AC (do ACGE là hình bình hành), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^o}\).

\({\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{9}{2}\).

Do đó: \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{3}{8}\).

a) Đúng. Hàm số f(x) có hai cực trị.

b) Sai. Hàm số có khoảng nghịch biến.

c) Đúng. Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

d) Sai. Đồ thị có dạng của hàm số bậc 3.

a) Sai. Đồ thị \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng là x = 1. Tiệm cận đứng của đồ thị trên hinh là x = 2.

b) Đúng. Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

c) Đúng. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\).

d) Sai. Hàm số không có cực trị.

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB'} \), \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AD'} \), mà \(\overrightarrow {AB'}  \ne \overrightarrow {AD'} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DD'} \) sai.

b) Đúng. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

c) Đúng. \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {D'A} ) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AC'} \), \(\overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {D'O}  + \overrightarrow {OC'}  = \overrightarrow {AC'} \), suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {D'O}  + \overrightarrow {OC'} \).

a) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.( - 1) + 3.2 + 4.3 = 17\).

b) Sai. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}}  = \sqrt {26} \).

c) Đúng. Vì \({\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {( - 1)^2} + {2^2} + {3^3} = 14\).

d) Đúng. Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow c  = (x;y;z) \ne \overrightarrow 0 \) và vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a  = (1;3;4)\) và \(\overrightarrow b  = ( - 1;2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow c .\overrightarrow a  = 0}\\{\overrightarrow c .\overrightarrow b  = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4\frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1]\), khi đó \(y = f(t) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}\).

Ta có: \(f'(t) = 8{t^2} - 9t + 3 > 0\) \(\forall t\).

Suy ra hàm f(t) đồng biến trên (-1;1), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là f(-1) = 1.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{m}{2}\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3) nên \(\frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Thử lại thấy thỏa mãn.

Gọi C’(x;y;z). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3;2;0)\), \(\overrightarrow {AD}  = (3;0;1)\), \(\overrightarrow {AA'}  = (4;2;3)\).

Mà \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \), suy ra \(\overrightarrow {AC'}  = (10;4;4)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 + 3}\\{y = 4 - 0}\\{z = 4 - 0}\end{array}} \right.\), vậy C’(13;4;4).

Vậy tổng cần tìm là 13 + 4 + 4 = 21.

Vận tốc cá bơi khi ngược dòng là v – 6 (km/h). Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300 km là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\) (giờ).

Năng lương tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là \(E(v) = c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\) (jun), v > 6.

Ta có: \(E'(v) = 600c{v^2}\frac{{v - 9}}{{{{(v - 6)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}{v = 0}\\{v = 9}\end{array}} \right.\)

Loại v = 0 vì v > 6.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để tiêu hao ít năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 9 (km/h).

Ta có \(f'(x) =  - 400x + 550 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).

Bảng biến thiên:

Ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{{11}}{8} \approx 1,375\).

Vậy công ty cần bán tour với giá 1,38 triệu đồng/khách để doanh thu cao nhất.

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \) nên a < 0.

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên d > 0.

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\). Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2} < 0\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} \Rightarrow \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)   (do a < 0)

Vậy có 1 số dương d.