Câu 1  (3,0 điểm):

Tính các giới hạn sau đây:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} - 2x + 1} \right)$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}$

c) $\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}$

Câu 2 (2,5 điểm):

Cho hàm số $y = 2{x^2} - 3x + 1$ có đồ thị là parabol (P).

a) Tính đạo hàm $y'$ của hàm số đã cho và giải phương trình $y' = 0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $\left( P \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} =  - 1$.

Câu 3 (3,5 điểm):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a,AD = a\sqrt 2$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, $SA = a\sqrt 3$ (với $a > 0$). Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng $SB,SD$ sao cho $AM$ vuông góc với $SB$ và $AN$ vuông góc với $SD$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ và $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và đường thẳng $AN$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

b) Gọi góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là $\varphi$. Tính $\sin \varphi$.

c) Tính độ dài đoạn thẳng $IH$ theo $a$.

Câu 4 (1,0 điểm):

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $7a + b + 3c = 0$. Chứng minh rằng phương trình $a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}$ có ít nhất một nghiệm trên $\mathbb{R}$.

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn baitap365.com

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) Thay $x = 3$ vào hàm số dưới dấu giới hạn.

b) Khử dạng vô định bằng cách phân tích tử thành nhân tử.

c) Chia cả tử và mẫu cho $n$ và áp dụng quy tắc tính giới hạn.

Cách giải:

Tính các giới hạn sau đây:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} - 2x + 1} \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} - 2x + 1} \right)$ $= {3^3} - 2.3 + 1 = 22$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 10x + 16}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 8} \right)\\ = 2 - 8\\ = 6\end{array}$

c) $\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}$

$\begin{array}{l}\lim \frac{{2{n^2} + n - 1}}{{5 - n}}\\ = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{n\left( {\frac{5}{n} - 1} \right)}}\\ = \lim \left[ {n.\frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} - 1}}} \right]\\ =  - \infty \end{array}$

Vì $\lim n =  + \infty$ và $\lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} - 1}}$ $= \frac{{2 + 0 - 0}}{{0 - 1}} =  - 2 < 0$.

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$ tính $y'$.

b) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:

$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$

Cách giải:

Cho hàm số $y = 2{x^2} - 3x + 1$ có đồ thị là parabol (P).

a) Tính đạo hàm $y'$ của hàm số đã cho và giải phương trình $y' = 0$.

$\begin{array}{l}y' = \left( {2{x^2}} \right)' - \left( {3x} \right)' + \left( 1 \right)'\\ = 2.2x - 3.1 + 0\\ = 4x - 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 4x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4x = 3\\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\end{array}$

Vậy với $x = \frac{3}{4}$ thì $y' = 0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $\left( P \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} =  - 1$.

Đặt $y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1$.

Với ${x_0} =  - 1$ thì ${y_0} = f\left( { - 1} \right)$ $= 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 6$

Hệ số góc của tiếp tuyến: $k = f'\left( { - 1} \right) = 4.\left( { - 1} \right) - 3 =  - 7$

Phương trình tiếp tuyến: $y =  - 7\left( {x + 1} \right) + 6$ hay $y =  - 7x - 1$.

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

a) Muốn chứng minh $d \bot \left( P \right)$ ta chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left( P \right)$

b) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và $d'$ với $d'$ là hình chiếu của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Tính toán theo định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn

c) Sử dụng qui tắc cộng trừ các véc tơ để biểu diễn được $\overrightarrow {IH}$ theo $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$

Từ đó sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ bằng $0$ nếu giá của chúng vuông góc với nhau để tính độ dài $IH.$

Cách giải:

a) Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và đường thẳng $AN$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \bot AD$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow SA \bot CD$

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\\AD \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right.$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\AN \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow CD \bot AN$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AN \bot SD\\AN \bot CD\\SD \cap CD = \left\{ D \right\}\end{array} \right.$ $\Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right)$                   

 b) Gọi góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là $\varphi$. Tính $\sin \varphi$.

Ta có $AN \bot \left( {SCD} \right)$ tại $N$ (cmt) nên $CN$ là hình chiếu của $CA$ lên mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$

Suy ra góc giữa $AC$ và $\left( {SCD} \right)$ là góc giữa $CA$ và $CN$. Hay $\varphi  = \widehat {ACN}$.

Ta tính $\widehat {ACN}$ .

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AC$

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A,$ theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}$ $= \frac{5}{{6{a^2}}}$ $\Rightarrow AN = \frac{{\sqrt {30} }}{5}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo định lý Pytago ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 3$

Vì $AN \bot \left( {SCD} \right)$ mà $CN \subset \left( {SCD} \right)$ nên $AN \bot CN$

Xét tam giác vuông $ANC$ có $\sin \widehat {ACN} = \frac{{AN}}{{AC}}$ $= \frac{{\frac{{a\sqrt {30} }}{5}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$

Suy ra $\sin \varphi  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

c) Tính độ dài đoạn thẳng $IH$ theo $a$.

Vì $\Delta SAD,\Delta SAB$ vuông tại $A$ nên $N,M$ lần lượt thuộc đoạn $SB,SD$.

Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $S{A^2} = SN.SD$ $\Leftrightarrow \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}$ $= \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}}$ $= \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2} + 2{a^2}}} = \frac{3}{5}$

Suy ra $\overrightarrow {SN}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {SD}$

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $S{A^2} = SM.SB$ $\Leftrightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}$ $= \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2} + {a^2}}} = \frac{3}{4}$

Suy ra $\overrightarrow {SM}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {SB}$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = \overrightarrow {SH}  - \overrightarrow {SI}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SM}  + \overrightarrow {SN} } \right)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  - \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {SB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {SD} } \right)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  - \frac{3}{8}\overrightarrow {SB}  - \frac{3}{{10}}\overrightarrow {SD}$  

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right) - \frac{3}{8}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB} } \right)$$- \frac{3}{{10}}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AD} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)$$- \frac{3}{8}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB} } \right)$$- \frac{3}{{10}}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AD} } \right)$

$=  - \frac{7}{{40}}\overrightarrow {SA}  + \frac{1}{8}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD}$

Vì $SA,AB,AD$ đôi một vuông góc nên ta có:

$I{H^2} = {\left( { - \frac{7}{{40}}\overrightarrow {SA}  + \frac{1}{8}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} } \right)^2}$

$= {\left( {\frac{7}{{40}}} \right)^2}{\overrightarrow {SA} ^2} + \frac{1}{{64}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow {AD} ^2}$ $- 2.\frac{7}{{40}}.\frac{1}{8}.\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}$ $- 2.\frac{7}{{40}}.\frac{1}{5}.\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD}$$+ 2.\frac{1}{5}.\frac{1}{8}.\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$

$= {\left( {\frac{7}{{40}}} \right)^2}S{A^2} + \frac{1}{{64}}A{B^2} + \frac{1}{{25}}A{D^2}$

$= {\left( {\frac{7}{{40}}} \right)^2}.3{a^2} + \frac{1}{{64}}{a^2} + \frac{1}{{25}}.2{a^2}$

=$\frac{3}{{16}}{a^2}$

Vậy $IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Câu 4 (VDC):

Phương pháp:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( {a,b} \right)$

Nếu ta có $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$

Cách giải:

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $7a + b + 3c = 0$. Chứng minh rằng phương trình $a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}$ có ít nhất một nghiệm trên $\mathbb{R}$. 

Xét hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c - 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}.$

Ta có: $f\left( 1 \right) = a + b + c$

$f\left( { - 1} \right) = a - b + c$

$f\left( 3 \right) = 9a + 3b + c$

Suy ra $2f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) + 3f\left( { - 1} \right)$ $= 2a + 2b + 2c$ $+ 9a + 3b + c$ $+ 3a - 3b + 3c$

$= 14a + 2b + 6c$ $= 2.\left( {7a + b + 3c} \right) = 0$

Hay $2f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) + 3f\left( { - 1} \right) = 0$

+) Nếu trong ba số $f\left( 1 \right);f\left( { - 1} \right);f\left( 3 \right)$ có 1 số bằng $0$ thì hai số còn lại có tổng bằng 0 nên chúng trái dấu.

Suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm

+) Nếu cả 3 số  $f\left( 1 \right);f\left( { - 1} \right);f\left( 3 \right)$ đều khác 0, vì $2f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) + 3f\left( { - 1} \right) = 0$ nên trong ba số  $f\left( 1 \right);f\left( { - 1} \right);f\left( 3 \right)$chắc chắn có hai số trái dấu nhau.

Suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm

Vậy với $7a + b + 3c = 0$ thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 2020\cos \frac{{\pi x}}{2}$ có ít nhất một nghiệm trên $\mathbb{R}$.

HẾT

baitap365.com