Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (6 ĐIỂM)

Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $f\left( x \right) = 1 + \tan x$        B. $f\left( x \right) = {x^2} + \cos \left( {3x} \right)$    

C. $f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {2x} \right)$       D. $f\left( x \right) =  - \cot x$

Câu 2: Hàm số nào sau đây có tập xác định là $\mathbb{R}$?

A. $y = \sin \sqrt x$             B. $y = \dfrac{1}{{2 - \cos x}}$                                 

C. $y = {\tan ^2}x$               D. $y = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}$

Câu 3: Tìm $a$ để phương trình $\left( {a - 1} \right)\cos x = 1$ có nghiệm.

A. $0 \le a \le 2,\,\,a \ne 1$    B. $\left[ \begin{array}{l}a \le 0\\a \ge 2\end{array} \right.$          

C. $a \ge 2$                           D. $a \le 0$

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, I là trung điểm của SC, giao điểm của AI và (SBD) là :

A. Điểm K (với O là trung điểm của BD và $K = SO \cap AI$)

 B. Điểm M (với $O = AC \cap BD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M = SO \cap AI$)

 C. Điểm N (với $O = AC \cap BD;$ N là trung điểm SO)

 D. Điểm I.

Câu 5: Nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}$ là:

A. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$           

B. $\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$                     

C. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$                                      

D. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\tan x =  - 1$ là:

A. $\dfrac{\pi }{4}$         B. $\dfrac{{7\pi }}{4}$       

C. $\dfrac{{3\pi }}{4}$       D. $- \dfrac{\pi }{4}$

Câu 7: Khẳng định nào sau đây sai?

A. $y = \cot x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)$.       

B. $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)$.

C. $y =  - \cos x$ đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.         

D. $y =  - tanx$ đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 8: Nghiệm của phương trình $\sin 2x - \sqrt 3 \sin x = 0$ là:

A. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$          

B. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$          

D. $\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 9: Gọi $a$ là nghiệm của phương trình $2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$. Tính $\cos 2a$.

A. $- \dfrac{1}{2}$             B. $\dfrac{\pi }{3}$              C. $\dfrac{1}{2}$                   D. $- \dfrac{\pi }{3}$

Câu 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho $\vec v\left( {3;3} \right)$ và đường tròn $\left( C \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$. Tìm phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\vec v}}.$

A. $(C'):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9$                  

B. $(C'):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9$

C. $(C'):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} =9$                 

D. $(C'):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} =3.$

Câu 11: Nghiệm của phương trình $\sin x.\cos x.\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0$ là:

A. $x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$               B. $x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$           

C. $x = \dfrac{{k\pi }}{8}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$                 D. $x = \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 12: Cho các mệnh đề sai:

(1) Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ cùng đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$.

(2) Đồ thị hàm số $y = 2019\sin x + 10\cos x$ cắt trục hoành tại vô số điểm.

(3) Đồ thị hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ chỉ có một điểm chung.

(4) Với $\in \left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)$ các hàm số $y = \tan \left( {\pi  - x} \right)$, $y = \cot \left( {\pi  - x} \right)$, $y = \sin \left( {\pi  - x} \right)$ đều nhận giá trị âm.

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là:

A. $0$                 B. $2$                 C. $3$                D. $1$

Câu 13: Hàm số nào sau đây toàn hoàn với chu kì $2\pi$?

A. $y = \tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right)$                       B. $y = \sin 2x$               

C. $y = \cos \left( {\dfrac{x}{2}} \right)$                       D. $y = \cot 2x$

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O$là giao điểm của $AC$ và $BD$, $M$là giao điểm của $AB$ và $CD$, $N$là giao điểm của $AD$ và $BC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$và $\left( {SCD} \right)$là?

A. $SA$         B. $SN$                  C. $SM$     D. $SO$

Câu 15: Tìm số giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$ để phương trình sau có nghiệm

$2\sin 2x + \left( {m - 1} \right)\cos 2x = m + 1$

A. $2021$      B. $2020$           C. $4038$   D. $4040$

II. TỰ LUẬN (4 ĐIỂM)

Câu 1 (0.5 điểm): Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\cot \left( {2x} \right)}}{{\cos \left( {2x} \right)}}$.

Câu 2 (0.5 điểm): Giải phương trình ${\cos ^2}x - 3\sin x + 3 = 0$.

Câu 3 (1 điểm): Tìm $a$ để phương trình $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x - a} \right) = 0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left( {0;\pi } \right)$.

Câu 4 (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x$ trên đoạn $\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]$.

Câu 5 (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC với M, N lần lượt là trung điểm của SB, AB; P thuộc đoạn AC sao cho AP = 2PC.

1. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

1.1. (MNP) và (ABC).                   1.2. (MNP) và (SBC).

2. Xác định giao điểm Q của mặt phẳng (MNP) với  SC. Tính PQ  khi biết SA =12cm.