Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Chứng minh rằng: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}$. Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} - 1$. Tính $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\;$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}$. Chứng minh rằng $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3$.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử ${u_n}$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0.