I. Giới hạn của hàm số tại một điểm

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm ${x_0}$ thuộc khoảng K và hàm số $y = f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Ta nói hàm số $y = f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới ${x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và ${x_n} \to {x_0}$, ta có$f({x_n}) \to L$

Kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$, khi ${x_n} \to {x_0}$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Cho $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là các hàm số xác định trên $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$, trong đó M, L là các số thực thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)$

b, Nếu $f(x) \ge 0$với mọi $x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L$.

3. Giới hạn vô cực

Cho điểm ${x_0}$thuộc khoảng K và hàm số $y = f(x)$ xác định trên K hoặc $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là $+ \infty$(hoặc $- \infty$ ) khi $x$ dần tới ${x_0}$ nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$, ${x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\lim f\left( {{x_n}} \right) =  + \infty$ (hoặc $\lim f\left( {{x_n}} \right) =  - \infty$ kí hiệu kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  + \infty$ hoặc $f(x) \to  + \infty$ khi  $x \to {x_0}$ (tương tự kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  - \infty$ hoặc $f(x) \to  - \infty$ khi  $x \to {x_0}$ ).

II. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {{x_0};b} \right)$.

Ta nói $y = f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to {x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì,${x_0} < {x_n} < b$ và ${x_n} \to {x_0}$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$.

Ta nói $y = f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to {x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì,$a < {x_n} < {x_0}$ và ${x_n} \to {x_0}$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L$.

*Định lí:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$

III. Giới hạn của hàm số tại vô cực

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x \to  + \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì ${x_n} > a$ và ${x_n} \to  + \infty$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to  + \infty$.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;a} \right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x \to  - \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì ${x_n} < a$ và ${x_n} \to  - \infty$ta có $f({x_n}) \to L$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to  - \infty$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0$

2. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

a, Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là $+ \infty$ khi $x \to  + \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right),{x_n} > a$và  $\lim {x_n} =  + \infty$, ta đều có $\lim f\left( {{x_n}} \right) =  + \infty$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty$ hoặc $f(x) \to  + \infty$ khi  $x \to  + \infty$ .

b, Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;a} \right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là $+ \infty$ khi $x \to  - \infty$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right),{x_n} < a$và  $\lim {x_n} =  - \infty$, ta đều có $\lim f\left( {{x_n}} \right) =  + \infty$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  + \infty$ hoặc $f(x) \to  + \infty$ khi  $x \to  - \infty$

Từ hai định nghĩa trên, ta có định nghĩa $f(x) \to  - \infty$  khi $x \to  + \infty$ (hay $x \to  - \infty$) như sau:

c, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { - f(x)} \right] =  + \infty$

d, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ { - f(x)} \right] =  + \infty$

* Chú ý:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }.$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty ,$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty ,$ k là số nguyên dương lẻ.

3. Quy tắc tìm giới hạn của tích và thương tại vô cực

*Giới hạn của tích$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x).g(x)} \right]$

*Giới hạn của thương $\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $+ \infty$ thành $- \infty$ (${x_0}^ -$hoặc ${x_0}^ +$)