Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian, cho hình chóp $O.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $OA \bot \left( {ABCD} \right)$, $OA = h$. Đặt trục số $Ox$ như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 < x \le h} \right)$, cắt hình chóp $O.ABCD$ theo mặt cắt là hình vuông $A'B'C'D'$. Kí hiệu $S\left( x \right)$ là diện tích của hình vuông $A'B'C'D'$.

a) Tính $S\left( x \right)$ theo $a$, $h$ và $x$.

b) Tính $\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}$ và so sánh với thể tích của khối chóp $O.ABCD$. 

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao $x$ (dm) $\left( {0 \le x \le 4} \right)$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}}$ (dm). Tính dung tích của bình.

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}x$, trục hoành và đường thẳng $x = 4$ (hình 12a). Quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$ thì được một khối nón, kí hiệu là $N$. (hình 12b)

a) Cắt khối $N$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le 4} \right)$ thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích $S\left( x \right)$ của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón $N$.

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 26 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 1 + \frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ (hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. (hình 16)