Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 61 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $S\left( {I;R} \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$. Xét một điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thay đổi.

a) Tính khoảng cách $IM$ theo $x$, $y$, $z$ và $a$, $b$, $c$.

b) Nêu điều kiện cần và đủ của $x$, $y$, $z$ để điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ nằm trên mặt cầu $S\left( {I;R} \right)$.

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 62 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$:

a) Có tâm $I\left( {3; - 2; - 4} \right)$, bán kính $R = 10$.

b) Có đường kính $EF$ với $E\left( {3; - 1;8} \right)$ và $F\left( {7; - 3;0} \right)$.

c) Có tâm $M\left( { - 2;1;3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( {2; - 3; - 4} \right)$.

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình ${\left( {x - 300} \right)^2} + {\left( {y - 400} \right)^2} + {\left( {z - 2000} \right)^2} = 1$. Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình $z = 0$.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 63 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$. (*)

i) Biến đổi (*) về dạng ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$.

ii) Chứng tỏ $M\left( {x;y;z} \right)$  luôn thuộc một mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left( S \right)$

b) Bằng cách biến đổi phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 15 = 0$ (**) về dạng ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} =  - 1$, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 63 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0$

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0$