1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I;R) là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I là đường kính mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I;R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình mặt cầu

Nhận xét: Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$ là phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5.

b) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1).

c) Có tâm A(1;0;2) và đi qua điểm B(2;4;1).

Giải:

a) Mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 25$.

b) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2;4;4) là trung điểm AB và bán kính R = JA = $\sqrt {11}$.

Vậy (S) có phương trình ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 11$.

c) Mặt cầu (S) có tâm A(1;0;-2) và đi qua điểm B(2;4;1) nên có bán kính R = AB = $\sqrt {26}$.

Vậy (S) có phương trình ${(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 26$.

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:

a) (S): ${(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} + {(z + 1)^2} = 81$.

b) (S’): ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$.

Giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;7;-1) và bán kính R = $\sqrt {81}$ = 9.

b) Mặt cầu (S’) có tâm O(0;0;0) và bán kính R’ = $\sqrt 4$ = 2.

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$.

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0$.

Giải:

a) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a =  - 4;b = 3;c =  - 1;d =  - 10$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0$.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-4;3;-1), bán kính R = 6.

b) Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a =  - \frac{1}{2};b =  - \frac{1}{2};c = 3;d = 33$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9 - 33 =  - \frac{{47}}{2} < 0$.

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

2. Vận dụng của phương trình mặt cầu

Ví dụ: Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assisstant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z = 0, đồng thời thuộc mặt cầu (S): ${(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109$ (đơn vị độ dài tính theo mét).

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J.

Giải:

Mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109$ nên có tâm I(32;50;0) và bán kính $R = \sqrt {109}$.

b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z = 0 trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxy), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32;50;10) xuống mặt sân có tọa độ J(32;50;0).

c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ = 10, IM = R, suy ra

$JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}}  = \sqrt {109 - 100}  = 3$.

Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3m.