Quan sát bảng biến thiên thấy y’ < 0 trên khoảng (0;2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

Đồ thị có hai cực trị nên là hàm số bậc ba. Nhánh cuối của đồ thị đi lên nên a > 0.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 2.

Quan sát bảng biến thiên thấy đường tiệm cận đứng có hoành độ bằng 1, đường tiệm cận ngang có tung độ bằng 1 nên tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1.

Quan sát đồ thị thấy điểm A(4;0) và điểm B(0;-4) thuộc đường tiệm cận xiên, suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là y = x – 4.

Quan sát đồ thị thấy giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (-1;1) suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là (-1;1).

Theo lý thuyết, ta chọn D.

Hàm số phải có $y' < 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Chỉ có đáp án C thỏa mãn vì $y' =  - 3{x^2} - 2 < 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$.

$y = {(x - 2)^2}.{e^x}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$y' = 2(x - 2).{e^x} + {(x - 2)^2}.{e^x} = (x - 2).{e^x}.[2 + (x - 2)] = x.(x - 2).{e^x}$

$y' = 0$ suy ra x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số ${(x - 2)^2}.{e^x}$ trên đoạn $[0;3]$ bằng ${e^3}$.

Quan sát bảng biến thiên thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1$ nên tiệm cận ngang của đồ thị là y = 1, ta loại đáp án D.

Quan sát bảng biến thiên thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = 3, ta loại đáp án B và C.

Từ hình vẽ ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty$ nên loại A, B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2;-3) nên thay x = 2; y = -3 vào hai hàm số C, D chỉ thấy hàm số D thỏa mãn.

$\cos \left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} \Leftrightarrow \cos {60^o} = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{2a.2a}} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 4{a^2}.\cos {60^o} = 2{a^2}.$

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên (0;2) và đồng biến (2;3).

b) Sai. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = 0, x = 2, x = 3).

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3.

d) Đúng. Đồ thị hàm số liên tục trên  và không có tiệm cận.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = {e^x} - 2$.

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2$.

Ta có bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên $( - \infty ;\ln 2)$ và đồng biến trên $(\ln 2; + \infty )$.

b) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2.

c) Đúng. Vì khi x = 0 thì y = 4, đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0;4).

d) Đúng. Vì gốc tọa độ O(0;0) thay vào hàm số thấy không thỏa mãn.

a) Đúng. Các vecto bằng với vecto $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'}$ vì chúng cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài.

b) Sai. Hai vecto $\overrightarrow {A'A}$,$\overrightarrow {B'B}$ cùng chiều nên không phải vecto đối nhau.

c) Đúng. Vì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {A'B'}$.

d) Sai. Vì $\overrightarrow {BB'}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CC'}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AC'}$.

a) Đúng. Vì $\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BC}$ (luôn đúng)

b) Sai. Vì các vecto $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD}$ đôi một vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 1.

c) Đúng. Gọi M là trung điểm của AD, ta có $IM = BM = BI = \frac{{DC}}{2}$ nên tam giác BMI đều.

Suy ra $\widehat {MIB} = {60^o} = \left( {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right) \Rightarrow \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right)$

$\Rightarrow  - \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2}$.

d) Đúng. Vì $\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BI} } \right) = {120^o}$.

$y' = 3{x^2} - 6x$.

$y' = 0$ khi x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 2.

$\Rightarrow a = 0,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 0 - 2.2 =  - 4$.

Ta có:

$c = OC = OM.\cos {65^o} = 14.\cos {65^o}$.

$b = OB = ON.\cos {32^o} = OM.\sin {65^o}.\cos {32^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {32^o}$.

$a = OA = ON.\cos ({90^o} - {32^o}) = OM\sin {65^o}.\cos {58^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {58^o}$.

Vậy $a + b + c \approx 23,4$.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là x.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $O \equiv A,B \in Ox,D \in Oy,A' \in Oz$.

Khi đó, tọa độ các đỉnh là: $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;x;0),A'(0;0;x),B'(x;0;x),C(x,x,x)$.

M là trung điểm của AD suy ra $M\left( {0;\frac{x}{2};0} \right)$.

N là trung điểm của BB’ suy ra $N\left( {x;0;\frac{x}{2}} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {MN}  = \left( {x; - \frac{x}{2};\frac{x}{2}} \right)$ và $\overrightarrow {AC'}  = \left( {x;x;x} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {MN,AC'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{x^2}}}{{x\sqrt 3 .x.\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$.

$\Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 2 + 3 = 5$.

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình nặng $f(n) = nP(n) = 480n - 20{n^2}$ (gam).

Xét hàm số $f(x) = 480x - 20{x^2};x \in (0; + \infty )$.

Ta có: $f'(x) = 480 - 40x = 0 \Leftrightarrow x = 12.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm f đạt giá trị lớn nhất tại x = 12. Từ đó, f(n) đạt giá trị lớn nhất tại n = 12.

Quan sát đồ thị, thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty$ suy ra $a < 0$.

Gọi ${x_1},{x_2}$ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho $({x_1} < {x_2})$.

Quan sát đồ thị, thấy ${x_1} + {x_2} > 0$ nên $ab < 0$. Mà a < 0 suy ra b > 0.

Quan sát đồ thị, thấy ${x_1}.{x_2} > 0$ nên $ac > 0$. Mà a < 0 suy ra c < 0.

Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm có tung độ $d$ nằm phía trên trục hoành suy ra $d > 0$.

Vậy, trong các số $a,b,c,d$ có hai số $b,d$ dương.

Gọi một trong hai số phải tim là x, số kia là x + 13.

Xét tích $P(x) = x(13 + x)$.

Ta có $P'(x) = 2x + 13 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 13}}{2}$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\min P(x) = P\left( {\frac{{ - 13}}{2}} \right) = \frac{{ - 169}}{4}$. Vậy tích hai số bé nhất khi một số là $\frac{{ - 13}}{2}$ và số kia là $\frac{{13}}{2}$. Tổng của chúng bằng 0.