Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2); nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

Suy ra ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng.

Ta thấy khoảng (-∞;-3) chứa khoảng (-∞;-5) nên i) Đúng.

Vậy chỉ có ii) sai.

Ta có đây là đồ thị hàm số dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Mặt khác, đồ thị có tiệm cận đứng x = -1.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = 3\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} g(x) = 2\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) - 1 = 2.3 - 1 = 5\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) =  - \infty \) nên x = 0, x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có ba tiệm cận.

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 2}} = 2x - 13 + \frac{{29}}{{x + 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - (2x - 13)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{29}}{{x + 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng y = 2x - 13 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 3, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 2 nên tâm đối xứng có tọa độ (2;3).

A sai vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng.

B đúng (theo quy tắc hình hộp).

C sai (theo quy tắc ba điểm).

D sai (theo quy tắc hình hộp).

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \) nên hệ số a < 0. Loại đáp án C.

Hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Xét đáp án A, có \(y' =  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \) x = 0 hoặc x = 2 (loại).

Xét đáp án D, có \(y' =  - 3{x^2} - 3x < 0\) \((\forall x \in \mathbb{R})\) (loại).

\(f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2}\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \frac{\pi }{3}\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\); \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) bằng 0.

Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;-4) và (2;0) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) =  - 4}\\{f'(2) = 0}\\{f(2) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d =  - 4}\\{12a + 4b + c = 0}\\{8a + 4b + 2c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + b = 0}\\{2a + b = 1}\\{c = 0}\\{d =  - 4}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 1}\\{b = 3}\\{c = 0}\\{d =  - 4}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4\).

\(\overrightarrow {MN}  = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}) = (3 - 2;1 - 3;5 - 1) = (1; - 2;4)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\overrightarrow u  = (1;3;2)\), \(\overrightarrow v  = (2;1;5)\).

Khi đó: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1.2 + 3.1 + 2.5 = 15\).

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Sai. Hàm số không có điểm cực trị.

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận là x = 3, y = 1.

\(f'(x) = 4{x^3} - 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \sqrt 5 }\\{x =  - \sqrt 5  \notin [0;9]}\end{array}} \right.\)

Ta có: f(0) = -4; \(f(\sqrt 5 ) =  - 29\); f(9) = 5747.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \((0;\sqrt 5 )\) và đồng biến trên khoảng \((\sqrt 5 ; + \infty )\).

b) Đúng. Hàm số có 3 điểm cực trị (\(x =  - \sqrt 5 \), x = 0, \(x = \sqrt 5 \)).

c) Sai. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng 5747.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29.

a) Đúng. Vì hai vecto \(\overrightarrow {A'A} \), \(\overrightarrow {CC'} \) ngược hướng và cùng độ dài.

b) Đúng. Vì hai vecto \(\overrightarrow {BA'} \), \(\overrightarrow {CD'} \) ngược hướng và cùng độ dài.

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {A'C} \) theo quy tắc hình hộp).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {C'C}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  = \overrightarrow {A'C} \) theo quy tắc hình hộp).

a) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  = 3\).

b) Đúng. Vì \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = (2 + 0;1 - 1; - 2 + 1) = (2;0; - 1)\).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.0 + 1.( - 1) - 2.1 =  - 3\).

d) Sai. Vì \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\] nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({135^o}\).

Tập xác định: [-3;1].

Ta có: \(f'(x) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\).

f(-3) = 0; f(-1) = 2; f(1) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, tức \(n - 3 = 0 \Leftrightarrow n = 3\).

Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, tức \( - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Vậy m + n = -3 + 3 = 0.

Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: P = m.g = 25.9,8 = 245 (N).

Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow d \) là: \(\widehat {CAB} = {90^o} - \widehat {ABC} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d  = \overrightarrow P .\overrightarrow d  = Pd\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3,5.\cos {60^o} = 428,75 \approx 429\) (J).

Ta có: DF = CH = x, FH = 30 – 2x. Suy ra chu vi tam giác DHF là p = 15.

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{DHF}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)

\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \), \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\).

\(f'(x) =  - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} =  - 2(15 - x)(3x - 30)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x = 15}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lăng trụ lớn nhất khi x = 10 (cm).  

Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó:

\(G\left( {\frac{{2500 + 3700 - 5000}}{3};\frac{{4700 + 1100 - 4000}}{3};\frac{{ - 3600 + 2900 - 7100}}{3}} \right) = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Phi thuyền đang ở vị trí gốc tọa độ, cần di chuyển đến vị trí trọng tâm G của 3 vệ tinh A, B, C nên quãng đường cần di chuyển bằng độ dài vecto \(\overrightarrow {OG}  = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Độ dài vecto \(\overrightarrow {OG} \) là \(\sqrt {{{400}^2} + {{600}^2} + {{( - 2600)}^2}}  \approx 2698\).

Ta có: \(N'(t) = 100.0,012{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}}\).

Tốc độ tăng trưởng dân số đạt 1,5 triệu người/năm tức là \(N'(t) = 1,5 \Leftrightarrow 1,2{e^{0,012t}} = 1,5 \Leftrightarrow t \approx 18,6\).

Vậy, vào năm 2023 + 18 = 2041, tốc độ tăng trưởng dân số của quốc gia đó là 1,5 triệu người/năm.