SGK Toán 11 - Kết nối tri thức
Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Định nghĩa
Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Định nghĩa
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
1. Định nghĩa dãy số
Bài 2.22 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn
Giải mục 1 trang 52, 53 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = {3.2^n})
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa ({u_n}) và ({u_{n - 1}})
Giải mục 1 trang 48, 49 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng ({u_n}) theo số hạng ({u_{n - 1}})
Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.
Bài 2.23 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số
(1,frac{1}{2},frac{1}{4},frac{1}{8}, ldots ;) (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó)
Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
Giải mục 2 trang 53, 54 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) với số hạng đầu ({u_1}) và công bội (q)
a) Tính các số hạng ({u_2},{u_3},{u_4},{u_5}) theo ({u_1}) và (q).
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo ({u_1}) và (q).
Giải mục 2 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) với số hạng đầu ({u_1}) và công sai d
a) Tính các số hạng ({u_2},{u_3},{u_4},{u_5}) theo ({u_1}) và d
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát ({u_n}) theo ({u_1}) và d
Giải mục 2 trang 43, 44 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét dãy số (({u_n})) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:
(5;10;15;20;25;30; ldots )
a) Viết công thức số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi
Bài 2.24 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (({u_n})) với ({u_n} = 3n + 6). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải mục 3 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) với số hạng đầu ({u_1} = a) và công bội (q ne 1)
Để tính tổng của n số hạng đầu
({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_{n - 1}} + {u_n})
Giải mục 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) với số hạng đầu ({u_1}) và công sai d
Để tính tổng của n số hạng đầu
({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_{n - 1}} + {u_n})
Giải mục 3 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
a) Xét dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = 3n - 1). Tính ({u_{n + 1}}) và so sánh với ({u_n})
b) Xét dãy số (left( {{v_n}} right)) với ({v_n} = frac{1}{{{n^2}}}). Tính ({v_{n + 1}}) Và so sánh với ({v_n})
Bài 2.25 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = u_n^2) B. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = 2{u_n})
C. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = {u_n} + 2) D. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = {u_n} - 2)
Bài 2.15 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) 1, 4, 16, …; b) (2, - frac{1}{2},frac{1}{8},; ldots )
Bài 2.8 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:
a) 4, 9,14, 19,...;
b) 1, -1, -3, -5,...
Bài 2.1 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (left( {{u_n}} right)) có số hạng tổng quát cho bởi:
a) ({u_n} = 3n - 2)
b) ({u_n} = {3.2^n})
c) ({u_n} = {left( {1 + frac{1}{n}} right)^n})
Bài 2.26 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (left( {{u_n}} right))với ({u_n} = 2n - 1) là
A. 199 B. ({2^{100}} - 1) C. 10 000 D. 9999
Bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng ({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}})
Bài 2.9 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng ({u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d)
a) ({u_n} = 3 + 5n;) b) ({u_n} = 6n - 4); c) ({u_1} = 2,;{u_n} = {u_{n - 1}} + n); d) ({u_1} = 2,;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3)
Bài 2.2 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Dãy số (left( {{u_n}} right))cho bởi hệ thức truy hồi: ({u_1} = 1,;;;{u_n} = n.{u_{n - 1}}) với (n ge 2)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát ({u_n}).
Bài 2.27 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.
Bài 2.17 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này
Bài 2.10 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.
Bài 2.3 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét tính tăng, giảm của dãy số (left( {{u_n}} right)), biết:
a) ({u_n} = 2n - 1); b) ({u_n} = - 3n + 2); c) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2})
Bài 2.28 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Bài 2.18 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?
Bài 2.11 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một cấp số cộng cố số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?
Bài 2.4 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) ({u_n} = n - 1); b) ({u_n} = frac{{n + 1}}{{n + 2}}); c) ({u_n} = sin;n;); d) ({u_n} = {left( { - 1} right)^{n - 1}}{n^2})
Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng (left( {{u_n}} right)), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
({u_k} = frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}) với (k ge 2)
Bài 2.19 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.
Bài 2.12 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Giả sử một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Bài 2.5 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1
Bài 2.30 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Bài 2.20 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.
Bài 2.13 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Bài 2.6 trang 46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức:
({A_n} = 100{left( {1 + frac{{0,06}}{{12}}} right)^n})
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm
Bài 2.31 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc thang thứ n so với mặt sân
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân
Bài 2.21 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kế trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.
Bài 2.14 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.
Bài 2.7 trang 47 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi ({A_n};left( {n in N} right)) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.
a) Tìm lần lượt ({A_0},;{A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5},{A_6}) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (left( {{A_n}} right))
Bài 2.32 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?
