1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax\, + \,by\, = \,c$ trong đó  $a,b,c$ là các số cho trước, a  và b  không đồng thời bằng $0,x\;$ và$y$   là các ẩn số.

-Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình $ax\, + \,by\, = \,c$ được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax\, + \,by\, = \,c$ trên mặt phẳng tọa độ.

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

a. Số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}};\)

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\);

Hệ phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'.}}\)

b. Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách 1: Phương pháp thế

Để giải một hệ phương trình, ta biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn. Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Cách 2: Phương pháp cộng đại số

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số , ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để dược một phương trình mới.

Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

3. Hệ phương trình chứa tham số

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.{\rm{   }}\left( * \right)$.

Cách 1. Để giải hệ phương trình \(\left( * \right)\), ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng

đại số.

Cách 2. Từ hai phương trình của hệ phương trình \(\left( * \right)\), sau khi dùng phương pháp thế hoặc

phương pháp cộng đại số, ta thu được một phương trình mới (một ẩn). Khi đó số nghiệm của

phương trình mới bằng số nghiệm của phương trình đã cho.

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

+ Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;

+ Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.

Bước 3. Kết luận

+ Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

+ Kết luận bài toán.