Ta có: $1,2:1,35 = \frac{{1,2}}{{1,35}} = \frac{8}{9} = 8:9$.

Ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{{2 + 3}} = \frac{{ - 15}}{5} =  - 3$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra $x =  - 3.2 =  - 6;y =  - 3.3 =  - 9$.

Vì y tỉ lệ thuận với x nên $k = \frac{y}{x} = \frac{{ - 5}}{1} =  - 5 = \frac{1}{?}$ suy ra $? = 1:\left( { - 5} \right) = \frac{{ - 1}}{5}$.

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên $a = xy = \left( { - 2} \right).4 =  - 8$.

Ta có: 5 – 4 = 1 nên 5cm; 4cm; 1cm không thể tạo thành một tam giác.

3cm; 4cm; 5cm có thể tạo thành một tam giác nên ta chọn đáp án B.

2 + 2 = 4 < 5 nên 5cm; 2cm; 2cm không thể tạo thành một tam giác.

1 + 4 = 5 < 10 nên 1cm; 4cm; 10cm không thể tạo thành một tam giác.

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên $xy$ không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên $x.\left( {x + 1} \right)$ với $x \in {\rm N}$ là biểu thức biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên $x.\left( {y + 1} \right)$ không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên $\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$ không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Trong các biểu thức trên, chỉ có $\frac{{3.(4 + 5)}}{2}$ là biểu thức số.

Xét tam giác vuông ACD có AD < AC (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Vì E nằm trên cạnh CD nên DE < DC suy ra AE < AC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Suy ra AD < AE < AC nên A sai.

“Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó”.

Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2 nên $y = 2x$.

Thay $x =  - 3$ vào công thức ta được: $y = 2.\left( { - 3} \right) =  - 6$.

Vì hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $a =  - 12.8 =  - 96$.

Thay $x = 3$ vào công thức ta được: $- 96 = 3.y$ suy ra $y =  - 32$.

Thay x = -1 vào A, ta được:

$A = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 6$.

a) Ta có: $\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}$

Suy ra $\left( { - 6} \right).\left( { - 15} \right) = 9.x$

$x = \frac{{\left( { - 6} \right).\left( { - 15} \right)}}{9} = 10$

Vậy x = 10.

b) Ta có: $\frac{{ - 4}}{x} = \frac{x}{{ - 49}}$

Suy ra $\left( { - 4} \right)\left( { - 49} \right) = x.x$

$\begin{array}{l}{x^2} = 196\\x =  \pm 14\end{array}$

Vậy $x =  \pm 14$.

a) Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ suy ra $\frac{a}{6} = \frac{b}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{6} = \frac{b}{5} = \frac{{a - b}}{{6 - 5}} = \frac{3}{1} = 3$.

Suy ra $a = 3.6 = 18$; $b = 3.5 = 15$.

Vậy a = 16; b = 15.

b) Ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{{x - y + z}}{{2 - 3 + 5}} = \frac{{32}}{4} = 8$.

Suy ra $x = 8.2 = 16$

$\begin{array}{l}y = 8.3 = 24\\z = 8.5 = 40\end{array}$

Vậy $x = 16;y = 24;z = 40$.

Gọi x, y, z (tấn)lần lượt là khối lượng hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển (x, y, z > 0).

Theo đề bài ta suy ra: $\frac{x}{{50}} = \frac{y}{{80}} = \frac{z}{{70}}$ và $x + y + z = 700$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{{50}} = \frac{y}{{80}} = \frac{z}{{70}} = \frac{{x + y + z}}{{50 + 80 + 70}} = \frac{{700}}{{200}} = 3,5\\x = 175;\quad y = 280;\quad z = 245\end{array}$

Vậy khối lượng hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển lần lượt là 175; 280; 245 tấn.

a) Xét tam giác AHO và tam giác BHO có:

$\widehat {AOH} = \widehat {BOH}$ (Ot là tia phân giác của $\widehat {AOB}$)

OH chung

$\widehat {AHO} = \widehat {BHO}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Suy ra $\Delta AHO = \Delta BHO\left( {g.c.g} \right)$

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) $\Delta AHO = \Delta BHO$ suy ra AH = HB (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác AHC và tam giác BHC có:

HC chung

$\widehat {AHC} = \widehat {BHC}\left( { = {{90}^0}} \right)$

AH = HB

Suy ra $\Delta AHC = \Delta BHC$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ACH} = \widehat {HCB}$ (hai góc tương ứng)

c) Xét tam giác OCE và OCD có:

OE = OD

$\widehat {EOC} = \widehat {DOC}$

OC chung

Suy ra ∆OEC = ∆ODC (c.g.c)

Suy ra EC = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có OA = OB và OE = OD nên AE = BD.

Xét $\Delta ECA$ và $\Delta DCB$ có:

EC = ED (cmt)

EA = DB (cmt)

CA = CB ($\Delta AHC = \Delta BHC$)

Suy ra $\Delta ECA = \Delta DCB$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ECA} = \widehat {DCB}$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác $\widehat {ECA} + \widehat {ECD} = {180^0}$ (vì AC cắt Oy tại D)

Suy ra $\widehat {DCB} + \widehat {ECD} = {180^0}$ hay B, C, E thẳng hàng (đpcm).

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = bk}\\{c = dk}\end{array}} \right.$

Do đó ta có:

$\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{bkdk}}{{bd}} = {k^2}(1)$

Ta cũng có:

$\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{{(bk)}^2} + {{(dk)}^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{b^2}{k^2} + {d^2}{k^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{k^2}\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}{{{b^2} + {d^2}}} = {k^2}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \left( {{k^2}} \right)$ (đpcm)