Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta suy ra $a.d = b.c$

Từ đẳng thức 2.12 = 8.3 ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức là:

$\frac{2}{3} = \frac{8}{{12}};\frac{2}{8} = \frac{3}{{12}};\frac{3}{2} = \frac{{12}}{8};\frac{8}{2} = \frac{{12}}{3}$.

Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có công thức $y = 2x$.

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên $a = xy = 2.12 = 24$.

Đa thức ${x^2} - 2x$ là đa thức một biến.

Giá trị của biểu thức $7x - 4$ tại x = 9 là:

$7.9 - 4 = 59$.

Trong tam giác ABC có AC < BC < AB (4cm > 6cm > 8cm) suy ra $\widehat B < \widehat A < \widehat C$.

Ta có 3 + 4 = 7 < 8 nên 3cm, 4cm, 8cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 3 + 7 = 10 nên 10cm, 7cm, 3cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 4 + 5 = 9 nên 9cm, 5cm, 4cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Vậy chỉ có 6cm, 7cm, 10cm là ba cạnh của một tam giác.

Vì AB là đường vuông góc kẻ từ A xuống BE nên AB nhỏ nhất.

Quan sát hình vẽ ta thấy C nằm giữa B và D nên BC < BD suy ra AC < AD.

Mà D lại nằm giữa B và E nên BD < BE suy ra AD < AE.

Suy ra AB < AC < AD < AE.

Quan sát hình vẽ ta thấy AD nằm giữa góc BAC và $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$ nên AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là giao điểm của hai đường cao trong tam giác suy ra CI cũng là đường cao của tam giác ABC.

Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Ta có: $\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$

Suy ra $x.3 = 4.6$

$x = \frac{{4.6}}{3} = 8$

Vậy x = 8.

b) Ta có: $7:x = - 9:4$

Suy ra $\frac{7}{x} = \frac{{ - 9}}{4}$

$\begin{array}{l}7.4 =  - 9.x\\x = \frac{{7.4}}{{ - 9}} = \frac{{ - 28}}{9}\end{array}$

Vậy $x = \frac{{ - 28}}{9}$.

Gọi số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c. $\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)$

Vì số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với 4; 3; 2 nên ta có: $\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.

Vì tổng số học sinh giỏi của cả ba lớp là 45 em ta có a + b + c = 45.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2} = \frac{{a + b + c}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{45}}{9} = 5$

Suy ra $a = 5.4 = 20$

$\begin{array}{l}b = 5.3 = 15\\c = 5.2 = 10\end{array}$

Vậy số học sinh giỏi của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20; 15; 10 học sinh.

Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km suy ra AC < AB.

Trong ∆ABC có: CB > AB – AC (hệ quả của bất đẳng thức tam giác)

Suy ra CB > 90 – 30 = 60km

Vậy nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.

a) Xét $\Delta DHF$ và $\Delta MHF$ có:

DH = HM

$\widehat {DHF} = \widehat {MHF}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HF chung

suy ra $\Delta DHF = \Delta MHF$ (hai cạnh góc vuông)

suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

b) Xét $\Delta DHI$ và $\Delta MHI$ có:

$DH = HM$

$\widehat {DHI} = \widehat {MHI}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HI chung

Suy ra $\Delta DHI = \Delta MHI$ (hai cạnh góc vuông) suy ra $\widehat {DIH} = \widehat {HIM}$ (hai góc tương ứng)

Mà IE nằm trong góc DIM suy ra IE là tia phân giác của góc DIM. (đpcm)

c) Vì $\Delta DHI = \Delta MHI$ nên DI = IM (hai cạnh tương ứng) suy ra tam giác DIM cân tại I.

Mà IH $\bot$ DH nên IH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Do EH = HF (gt) và EF = FI (gt) nên $\frac{{IF}}{{HI}} = \frac{{2HF}}{{3HF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $IF = \frac{2}{3}HI$ hay F là trọng tâm của tam giác DIM.

Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và $IF = \frac{2}{3}IH$ nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Mà MF cắt DI tại N nên MN là đường trung tuyên của tam giác DIM. (đpcm)

Ta có:$\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ac}}{{a + c}}$

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}$

$\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}} = \frac{b}{{bc}} + \frac{c}{{bc}} = \frac{a}{{ac}} + \frac{c}{{ac}}$

suy ra $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$ suy ra  $a = c$ (1)

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ suy ra  $a = b$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  a = b = c

Thay vào M, ta được:

$\begin{array}{l}M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\\M = \frac{{2.a.a + 3.a.a + a.a}}{{2{a^2} + 3{a^2} + {a^2}}}\\M = \frac{{6{a^2}}}{{6{a^2}}} = 1\end{array}$

Vậy M = 1.