Đề bài

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông ${H_0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông ${H_0}$ thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình ${H_1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của ${H_1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình ${H_2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình ${H_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)$.

Ta có:   ${H_1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$;

                ${H_2}$ có $5.5 = {5^2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{{3^2}}}$;…

Từ đó, nhận được hình ${H_n}$ có ${5^n}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{{{3^n}}}$.

a) Tính diện tích ${S_n}$ của ${H_n}$ và tính $\lim {S_n}$.

b) Tính chu vi ${p_n}$ của ${H_n}$ và tính $\lim {p_n}$.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích $\lim {S_n}$ và chu vi $\lim {p_n}$).