Ta có:

$\frac{{5x - 6}}{{3x}}$ (với $x \ne 0$) là phân thức đại số vì 5x – 6; 3x là đa thức, 3x khác 0.

$\frac{{\frac{1}{{2x}}}}{{x + 1}}$ (với $x \ne 0;x \ne  - 1$) không phải phân thức đại số vì $\frac{1}{{2x}}$ không phải là đa thức.

$\frac{{2x - 3y}}{{xyz}}$ (với $xyz \ne 0$) là phân thức đại số vì 2x – 3y, xyz là đa thức và xyz khác 0.

$6{x^2} - 5x + 7 = \frac{{6{x^2} - 5x + 7}}{1}$ là phân thức đại số.

Phân thức $\frac{{3x - 5}}{{2x + 1}}$ xác định khi $2x + 1 \ne 0$ hay $x \ne \frac{{ - 1}}{2}$.

Ta có: $x = 2 \ne 1$ thỏa mãn điều kiện xác định của A.

Thay x = 2 vào A, ta được:

$A\left( 2 \right) = \frac{3}{{2 - 1}} = 3$.

Ta có: $\frac{{2x - 3}}{7} + \frac{{5x + 3}}{7} = \frac{{2x - 3 + 5x + 3}}{7} = \frac{{7x}}{7} = x$

Ta có: $\frac{{8x}}{{15{y^3}}}:\left( { - \frac{{4{x^2}}}{{3{y^2}}}} \right)$$= \frac{{8x}}{{15{y^3}}}.\frac{{ - 3{y^2}}}{{4{x^2}}}$$= \frac{{2.4.\left( { - 3} \right)x{y^2}}}{{3.5.4{x^2}{y^3}}}$$= \frac{{ - 2}}{{5xy}}$.

Ta có: DE // BC nên $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow \widehat D = \widehat B = {80^0}$, $\widehat E = \widehat C$$= {180^0} - \widehat A - \widehat B$$= {180^0} - {60^0} - {80^0}$$= {40^0}$

Ta có:

${4^2} + {6^2} = 52 \ne 49 = {7^2}$ nên tam giác này không phải là tam giác vuông.

${6^2} + {8^2} = 100 = {10^2}$ nên tam giác này là tam giác vuông.

${12^2} + {20^2} = 544 \ne 624 = {25^2}$ nên tam giác này không phải là tam giác vuông.

${6^2} + {9^2} = 117 \ne 121 = {11^2}$ nên tam giác này không phải là tam giác vuông.

Vì cùng thời điểm nên ta có $\widehat F = \widehat C$.

Xét $\Delta DEF$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat D = \widehat A\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat F = \widehat C$

$\Rightarrow \Delta DEF\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}}$

$\frac{{1,5}}{{2,1}} = \frac{{AB}}{{4,2}} \Rightarrow AB = 4,2.\frac{{1,5}}{{2,1}} = 3\left( m \right)$.

a) Với $x \ne \pm 1$, ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{3}{{x + 1}}\end{array}$

b) Ta có: $x = 2$ (tmđk) nên thay $x = 2$ vào biểu thức A, ta được:

$A = \frac{3}{{2 + 1}} = \frac{3}{3} = 1$.

Vậy A = 1 khi x = 2.

c) Để A nhận giá trị nguyên thì $3 \vdots \left( {x + 1} \right)$ hay $x + 1 \in U\left( 3 \right)$. $U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$. Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}$ thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

a) Vì vận tốc của ca nô là x nên vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 3 (km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là x -3 (km/h)

Vì ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B nên phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B là: $\frac{{45}}{{x + 3}}$.

b) Vì ca nô ngược dòng từ bến B đến vị trí A nên phân thức biểu thị theo x thời gian ca nô đi từ bến B đến vị trí A là: $\frac{{45 - 27}}{{x - 3}} = \frac{{18}}{{x - 3}}$.

c) Phân thức biểu thị theo x tổng thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là: $\frac{{45}}{{x + 3}} + \frac{{18}}{{x - 3}}$.

Vì x > 3 nên x = 12 thỏa mãn điều kiện.

Nếu vận tốc của ca nô là 12km/h thì thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là:

$\frac{{45}}{{12 + 3}} + \frac{{18}}{{12 - 3}} = 5\left( h \right)$
Vậy nếu vận tốc của ca nô là 12km/h thì thời gian ca nô đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là 5h.

Vì hai cây B và C được trồng cách đều cột đèn D nên BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.18 = 9(m)

Vì ngôi trường A cách cột đèn D 12m theo hướng vuông góc nên $\widehat {ADC} = {90^o}$.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

$AD$ chung

$\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \left( {{{90}^0}} \right)$

BD = DC (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AB = AC$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ADC, ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ \Rightarrow AC = \sqrt {225}  = 15\left( m \right)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ mỗi cây đến ngôi trường là 15m.

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat B$ chung

$\widehat H = \widehat A = \left( {{{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta CBA\left( g.g \right)$ (đpcm)

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC$ (đpcm)

b) Xét $\Delta AHE$ và $\Delta ABH$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat E = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow \Delta AHE\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = A{H^2}$ (1)

Xét $\Delta AHF$ và $\Delta ACH$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat F = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\Delta AHF\backsim \Delta ACH\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AF.AC = A{H^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC (đpcm)

c) Theo ý b, ta có $AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}$.

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ACB$ (c.g.c) (đpcm)

d) Xét $\Delta HNI$ và $\Delta HFC$ có:

$\widehat H$ chung

$\widehat N = \widehat F = \left( {{{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow \Delta HNI\backsim \Delta HFC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}$

Xét $\Delta HFN$ và $\Delta HCI$ có:

$\widehat H$ chung

$\frac{{HN}}{{HI}} = \frac{{HF}}{{HC}}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta HFN\backsim \Delta HCI\left( c.g.c \right)$ (đpcm)

Theo đề bài ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{a + b + c}}$

$\begin{array}{l}\frac{{bc + ac + ab}}{{abc}} = \frac{1}{{a + b + c}}\\\left( {bc + ac + ab} \right)\left( {a + b + c} \right) = abc\\bc\left( {a + b} \right) + b{c^2} + ac\left( {a + b} \right) + a{c^2} + ab\left( {a + b} \right) + abc - abc = 0\\bc\left( {a + b} \right) + ac\left( {a + b} \right) + ab\left( {a + b} \right) + \left( {b{c^2} + a{c^2}} \right) = 0\\bc\left( {a + b} \right) + ac\left( {a + b} \right) + ab\left( {a + b} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) = 0\\\left( {bc + ac + ab + {c^2}} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\\left[ {\left( {bc + ab} \right) + \left( {ac + {c^2}} \right)} \right]\left( {a + b} \right) = 0\\\left[ {b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + c} \right)} \right]\left( {a + b} \right) = 0\\\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = 0\\a + c = 0\\a + b = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - c\\a =  - c\\a =  - b\end{array} \right.\end{array}$

Trường hợp 1. Với $b =  - c$, ta có:

$\begin{array}{l}VT = \frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{{\left( { - c} \right)}^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}} - \frac{1}{{{c^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}VP = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}} + {{\left( { - c} \right)}^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}} - {c^{2023}} + {c^{2023}}}}\\ = \frac{1}{{{a^{2023}}}}\end{array}$

$\Rightarrow VT = VP$ hay $\frac{1}{{{a^{2023}}}} + \frac{1}{{{b^{2023}}}} + \frac{1}{{{c^{2023}}}} = \frac{1}{{{a^{2023}} + {b^{2023}} + {c^{2023}}}}$

Học sinh tự chứng minh tương tự cho trường hợp $a =  - c$ và $a =  - b$.