Phân thức đối của phân thức $\frac{3}{{x + 1}}$ là $- \frac{3}{{x + 1}}$.

Phân thức $\frac{2}{{x + 3}}$ xác định khi $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne  - 3$.

Phân thức $\frac{3}{{x + 1}}$ xác định khi $x + 1 \ne 0$ hay $x \ne  - 1$.

$\Rightarrow$ Biểu thức A xác định khi $x \ne  - 3,x \ne  - 1$.

Ta có: $\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{{3\left( {xy + 1} \right)}}{{3\left( {3y + 1} \right)}} = \frac{{xy + 1}}{{3y + 1}}$.

Để phân thức $\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ xác định thì ${x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\\5x - 2 = 0\\x = \frac{2}{5}\left( {TM} \right)\end{array}$

Ta có: $\left( {\frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) = \frac{{ - 4.5x}}{{3{y^2}}}.\frac{{ - 5y}}{{4{x^3}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}$.

Ta có: MN // PQ nên $\Delta OMN\backsim \Delta OQP$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow \frac{{ON}}{{OP}} = \frac{{MN}}{{PQ}} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{3}{{5,1}} \Rightarrow x = 2:\frac{3}{{5,1}} = 3,4$.

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2$

$\Rightarrow AB = 2.3 = 6\left( {cm} \right);AC = 2.4 = 8\left( {cm} \right)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$

$\Rightarrow BC = 10cm$.

Vì cột đèn giao thông và cột điện vuông góc với mặt đất nên $\widehat E = \widehat C = {90^0}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat E = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat A$ chung

$\Rightarrow \Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{DE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AC}}$

$\frac{3}{2} = \frac{{BC}}{6} \Rightarrow BC = 6.\frac{3}{2} = 9\left( m \right)$.

a) Để M xác định thì:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.$ hay $x \ne  \pm 2$
Vậy điều kiện xác định của M là $x \ne  \pm 2$.

b) Ta có: $M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{2}{{x + 2}}$

$\begin{array}{l}M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right).\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{1}{{x - 2}}.\frac{{x + 2}}{2} - \frac{1}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{2}\\M = \frac{{x + 2 - \left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{{x + 2 - x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{4}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{2}{{x - 2}}\end{array}$

Vậy $M = \frac{2}{{x - 2}}$.

c) Thay M = 1, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} = 1\\x - 2 = 2\\x = 4\end{array}$

Vậy x = 4 thì M = 1.

Phân thức biểu thị thời gian của lượt đi là: $\frac{5}{x}$ (giờ)

Phân thức biểu thị thời gian của lượt về là: $\frac{5}{{x + 3}}$ (giờ)

a) Biểu thức biểu thị tổng thời gian cả hai lượt đi và về là: $T = \frac{5}{x} + \frac{5}{{x + 3}}$ (giờ)

b) Biểu thức biểu thị hiệu thời gian lượt đi đối với lượt về là: $t = \frac{5}{x} - \frac{5}{{x + 3}}$ (giờ)

c) Thay x = 12 vào biểu thức T và t, ta được:

$T = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{15}} = \frac{3}{4}$ (giờ)

$t = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{12}}$ (giờ)

Vì cột đèn và cây xanh đều vuông góc với mặt đất nên ta có $\widehat A = \widehat C = {90^0}$

$\Rightarrow$ AB // CD

$\Rightarrow \Delta ABM\backsim \Delta CDM$ (Định lí hai tam giác đồng dạng)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{CD}}{{CM}}\\\frac{{AB}}{{4,8}} = \frac{{10}}{{2 + 4,8}} = \frac{{10}}{{6,8}}\\ \Rightarrow AB = 4,8.\frac{{10}}{{6,8}} \approx 7\left( m \right)\end{array}$

Vậy chiều cao của cây xanh đó là khoảng 7m.

a) Xét $\Delta ACB$ và $\Delta NIB$ có:

$\widehat B$ chung

$\widehat A = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow \Delta ACB\backsim \Delta NIB\left( g.g \right)$ (đpcm)

$\Rightarrow \frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}$

$\Rightarrow BA.BI = BC.BN$ (đpcm)

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)\end{array}$

I là trung điểm của AB nên AI = IB = $\frac{1}{2}$AB = 4cm

Ta có: $BA.BI = BC.BN$

$\begin{array}{l}8.4 = 10.BN\\ \Rightarrow BN = \frac{{8.4}}{{10}} = 3,2\left( {cm} \right)\end{array}$

c) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta CBI$ có:

$\frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\left( {cmt} \right)$

$\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta ABN\backsim \Delta CBI\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat {IAN} = \widehat {ICN}$ (đpcm)

d) Kẻ $AH \bot BC$ tại H.

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BAC$ có:

$\widehat A = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta AHC\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = CH.BC$.

Vì $IN \bot BC;AH \bot BC \Rightarrow IN//AH$

Xét tam giác ABH có IN // AH, I là trung điểm của AB nên IN là đường trung bình của tam giác ABH.

$\Rightarrow$ N là trung điểm của BH $\Rightarrow BN = NH$.

Ta có: $CH.CB$$= \left( {CN - NH} \right)\left( {CN + BN} \right)$$= \left( {CN - BN} \right)\left( {CN + BN} \right)$$= C{N^2} - B{N^2}$

$\Rightarrow A{C^2} = C{N^2} - B{N^2}$ (đpcm)

Xét phân thức $\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}$$= \frac{{a - c - a + b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}$$= \frac{{a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{a - b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}$$= \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}}$.

Tương tự ta có: $\frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}}$

                        $\frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}$

$\Rightarrow \frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$

$= \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}} + \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}$

$= \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}}$

$= \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}$ (đpcm).