Ta có: $\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{2x - 2}}$ nên phân thức $\frac{{2x}}{{2x - 2}} = \frac{x}{{x - 1}}$.

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{x - y}}{{x + y}}$ là $\frac{{x + y}}{{x - y}}$.

Để phân thức $\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 2x}}$ xác định thì ${x^2} + 2x \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  - 2\end{array} \right.$

Vì $x =  - 2$ không thỏa mãn điều kiện của phân thức nên tại $x =  - 2$ phân thức không xác định.

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = \frac{{x + 1 - \left( {x - 4} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{x + 1 - x + 4}}{{x - 1}} = \frac{5}{{x - 1}}$.

Ta có: AB // DE nên $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{DE}}\\\frac{{x - 2}}{{20}} = \frac{6}{{10}}\\ \Rightarrow x - 2 = 20.\frac{6}{{10}} = 12\\ \Rightarrow x = 12 + 2 = 14\end{array}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 = {4^2}\\ \Rightarrow AC = 4\left( {cm} \right)\end{array}$

Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)$

Theo đề bài ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta 'B'C'$. Do đó:

$\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{300}}{{450}} = \frac{2}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}}\\ = \frac{{300 + 350 + 550}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \frac{{1200}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow A'B' + A'C' + B'C' = 1200:\frac{2}{3} = 1800\end{array}$

Vậy chiều dài của con đường là 1800m.

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AC, MP nên BH và NK là hai đường trung tuyến của $\Delta ABC$ và $\Delta MNP$.

Do B và N là hai đỉnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng nên BH và NK cũng là hai đường trung tuyến tương ứng $\Rightarrow \frac{{BH}}{{NK}} = 3$.

a) $\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{5x - 1}}{{{x^2} - 1}}$ (ĐK: $x \ne \pm 1$)

$= \frac{1}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}} + \frac{{5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1 - 2\left( {x + 1} \right) + 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1 - 2x - 2 + 5x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{4}{{x + 1}}\end{array}$

b) $\frac{{2x + 6}}{{{x^3} - 8}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}{{2x - 4}}$ (ĐK: $x \ne 2$)

$\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{4}{{\left( {{x^2} + 2x + 4} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

a) Ta có x = -3 thỏa mãn điều kiện của biểu thức Q nên thay x = -3 vào Q, ta được:

$Q = \frac{{ - 3 - 1}}{{ - 3}} = \frac{4}{3}$.

Vậy $Q = \frac{4}{3}$ khi $x =  - 3$.

b) Ta có: $P = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{1}{{x + 2}}$

$\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{x}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{{x^2} - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{x - 1}}{x}\end{array}$

Vậy $P = \frac{{x - 1}}{x}$.

c) Ta có: $P:Q = \frac{{x - 1}}{x}:\frac{{x + 1}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}.\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.

$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\\2x - 2 = 5x + 5\\3x =  - 7\\x =  - \frac{7}{3}(TM)\end{array}$

Vậy $x =  - \frac{7}{3}$ khi $P:Q = \frac{5}{2}$.

d) Ta có: $P = \frac{{x - 1}}{x} = 1 - \frac{1}{x}$. Để P nguyên thì $\frac{1}{x}$ nguyên $\Rightarrow 1 \vdots x$ hay $x \in U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;1} \right\}$.

Mà $x \ne  - 1$ nên chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy $x = 1$ thì P nguyên.

Vì tháp và cây cột đều vuông góc với mặt đất nên ta có $\widehat B = \widehat E = {90^0}$

$\Rightarrow$ AB // DE

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta DEC$ (Định lí hai tam giác đồng dạng)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{CE}}\\\frac{{AB}}{2} = \frac{{63}}{3} = 21\\ \Rightarrow AB = 21.2 = 42\left( m \right)\end{array}$

Vậy chiều cao của tháp là 42m.

a) Ta có: $AC \bot AB\left( {gt} \right),BK \bot AB\left( {gt} \right)$ $\Rightarrow AC//BK$ nên tứ giác ABKC là hình thang.

Mà $\widehat A = \widehat B = {90^0}$ nên ABKC là hình thang vuông.

b) Vì AC // BK nên $\widehat {CAH} = \widehat {AKB}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat B = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {CAH} = \widehat {AKB}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABK\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ (đpcm)

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{CH}}{{CA}} \Rightarrow AB.CA = AK.CH$ (đpcm)

c) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {ABC} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {ABC}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat {HAC} = \widehat {ABC}$

$\Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = BH.CH$ (đpcm)

d) Ta có: $A{H^2} = BH.CH = 9.16 = 144 = {12^2}$

$\Rightarrow AH = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB, ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ \Rightarrow AB = 15\left( {cm} \right)\end{array}$

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm.

Ta có: $VT = \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}}$

$= \frac{x}{{x\left( {1 + a} \right)}} + \frac{y}{{y\left( {1 + b} \right)}} + \frac{z}{{z\left( {1 + c} \right)}}$

$\begin{array}{l} = \frac{x}{{x + ax}} + \frac{y}{{y + by}} + \frac{z}{{z + cz}}\\ = \frac{{by + cz}}{{by + cz + ax}} + \frac{{ax + cz}}{{ax + cz + by}} + \frac{{ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{by + cz + ax + cz + ax + by}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2ax + 2by + 2cz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{{2\left( {ax + by + cz} \right)}}{{ax + by + cz}}\\ = 2 = VP\end{array}$

Vậy $\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2$ (đpcm).