Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 Cánh diều

1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).

Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9 Cánh diều

1. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) × (sin góc đối) = (cạnh huyền ) × (cosin góc kề)

Giải bài tập 1 trang 92 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có đường cao (AH) và (widehat B = alpha ) (Hình 40). a) Tỉ số (frac{{HA}}{{HB}}) bằng: A. (sin alpha ). B. (cos alpha ). C. (tan alpha ). D. (cot alpha ). b) Tỉ số (frac{{HA}}{{HC}}) bằng: A. (sin alpha ). B. (cos alpha ). C. (tan alpha ). D. (cot alpha ). c) Tỉ số (frac{{HA}}{{AC}}) bằng: A. (sin alpha ). B. (cos alpha ). C. (tan alpha ). D. (cot alpha ).

Giải câu hỏi khởi động trang 88 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hình 28 minh hoạ một máy bay cất cánh từ vị trí (A) trên đường băng của sân bay và bay theo đường thẳng (AB) tạo với phương nằm ngang (AC) một góc là (20^circ ). Sau 5 giây, máy bay ở độ cao (BC = 110m). Có thể tính khoảng cách (AB) bằng cách nào?

Giải mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có (widehat B = alpha ) (Hình 2). a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc (B)? b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc (B)? c) Cạnh nào là cạnh huyền?

Giải bài tập 2 trang 92 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho hình thoi (ABCD) có (AB = a,widehat {BAD} = 2alpha left( {0^circ < alpha < 90^circ } right)). Chứng minh: a) (BD = 2a.sin alpha ). b) (AC = 2a.cos alpha ).

Giải mục 1 trang 89 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hãy giải bài toán ở phần mở đầu và tính (AB) trong Hình 29b (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Giải câu hỏi khởi động trang 82 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hình 12b mô tả đường lên dốc ở Hình 12a, trong đó góc giữa (BC) và phương nằm ngang (BA) là (widehat {ABC} = 25^circ ). Cạnh góc vuông (AC) và cạnh huyền (BC) (Hình 12b) có liên hệ với nhau như thế nào?

Giải mục 2 trang 77, 78 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) (Hình 7). a) Tổng số đo của góc (B) và góc (C) bằng bao nhiêu? b) Viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc (B) và góc (C). c) Mỗi tỉ số lượng giác của góc (B) bằng tỉ số lượng giác nào của góc (C)?

Giải bài tập 3 trang 92 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Trong trò chơi xích đu ở Hình 41, khi dây căng xích đu (không dãn) (OA = 3m) tạo với phương thẳng đứng một góc là (widehat {AOH} = 43^circ ) thì khoảng cách (AH) từ em bé đến vị trí cân bằng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Giải mục 2 trang 90 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Mặt cắt đứng của khung thép có dạng tam giác cân (ABC) với (widehat B = 23^circ ,AB = 4m) (Hình 33). Tính độ dài đoạn thẳng (BC) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Giải mục 1 trang 82, 83 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) (Hình 13). a) Biểu diễn (sin B,cos C) theo (AC,BC). b) Viết công thức tính (AC) theo (BC) và (sin B). c) Viết công thức tính (AC) theo (BC) và (cos C).

Giải mục 3 trang 78, 79 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các giá trị lượng giác sau: (sin 71^circ ); (cos 48^circ ); (tan 59^circ ); (cot 23^circ );

Giải bài tập 4 trang 92 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Một người đứng ở vị trí (B) trên bờ sông muốn sử dụng la bàn để ước lượng khoảng cách từ vị trí đó đến một vị trí (A) ở trên một cù lao giữa dòng sông. Người đó đã làm như sau: - Sử dụng la bàn, xác định được phương (BA) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Đông (52^circ ). - Người đó di chuyển đến vị trí (C), cách (B) một khoảng là 187m. Sử dụng la bàn, xác định được phương (CA) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây (27^circ ); (CB) lệch với phương Nam – Bắc về hướng Tây

Giải bài tập 1 trang 90 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hình 35 mô tả ba vị trí (A,B,C) là ba đỉnh của một tam giác vuông và không đo được trực tiếp các khoảng cách từ (C) đến (A) và từ (C) đến (B). Biết (AB = 50m), (widehat {ABC} = 40^circ ). Tính khoảng cách (CA) và (CB) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Giải mục 2 trang 84 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) (Hình 17) a) Biểu diễn (tan B,cot C) theo (AB,AC). b) Viết công thức tính (AC) theo (AB) và (tan B). c) Viết công thức tính (AC) theo (AB) và (cot C).

Giải bài tập 1 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có (AC = 4cm,BC = 6cm). Tính các tỉ số lượng giác của góc (B).

Giải bài tập 2 trang 91 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Để ước lượng chiều cao của một cây trong sân trường, bạn Hoàng đứng ở sân trường (theo phương thẳng đứng), mặt bạn Hoàng đặt tại vị trí (C) cách mặt đất một khoảng (CB = DH = 1,64m) và cách cây một khoảng (CD = BH = 6m). Tính chiều cao (AH) của cây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét), biết góc nhìn (ACD) bằng (38^circ ) minh họa ở Hình 36.

Giải mục 3 trang 85, 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Tìm độ dài cạnh góc vuông (AC) và số đo các góc nhọn (B,C) của tam giác vuông (ABC), biết cạnh góc vuông (AB = 5cm) và cạnh huyền (BC = 13cm).

Giải bài tập 2 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có (AB = 2cm,AC = 3cm). Tính các tỉ số lượng giác của góc (C).

Giải bài tập 3 trang 91 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Trong công việc, người ta cần ước lượng khoảng cách từ vị trí (O) đến khu đất có dạng hình thang (MNPQ) nhưng không thể đo được trực tiếp, khoảng cách đó được tính bằng khoảng cách từ (O) đến đường thẳng (MN). Người ta chọn vị trí (A) ở đáy (MN) và đo được (OA = 18m,widehat {OAN} = 44^circ ) (Hình 37). Tính khoảng cách từ vị trí (O) đến khu đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Giải bài tập 1 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Tìm (x,y) trong mỗi hình (23a,23b,23c) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét)

Giải bài tập 3 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (MNP) có (MN = 5cm,MP = 12cm,NP = 13cm). Chứng minh tam giác (MNP) vuông tại (N). Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc (N).

Giải bài tập 4 trang 91 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Một mảnh gỗ có dạng hình chữ nhật (ABCD) với đường chéo (AC = 8dm). Do bảo quản không tốt nên mảnh gỗ bị hỏng phía hai đỉnh (B) và (D). Biết (widehat {BAD} = 64^circ ) (Hình 38). Người ta cần biết độ dài (AB) và (AD) để khôi phục mảnh gỗ ban đầu. Độ dài (AB,AD) bằng bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải bài tập 2 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) có đường cao (AH = 6cm,widehat B = 40^circ ,widehat C = 35^circ ). Tính độ dài các đoạn thẳng (AB,BH,AC,BC) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Giải bài tập 4 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc (63^circ )? Vì sao? a) (sin 27^circ ) b) (cos 27^circ ) c) (tan 27^circ ) d) (cot 27^circ )

Giải bài tập 5 trang 91 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Trên mặt biển, khi khoảng cách (AB) từ ca nô đến chân tháp hải đăng là 250m, một người đứng trên tháp hải đăng đó nhìn về phía ca nô theo phương (CA) tạo với phương nằm ngang (Cx) một góc là (widehat {ACx} = 32^circ ) (Hình 39). Tính chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết (AB//Cx) và độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh tháp là 3,2m.

Giải bài tập 3 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông tại (A) có (widehat B = 30^circ ). Chứng minh (AC = frac{1}{2}BC).

Giải bài tập 5 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): a) (41^circ ) b) (28^circ 35') c) (70^circ 27'46'')

Giải bài tập 4 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho tam giác (ABC) vuông cân tại (A). Chứng minh (AB = AC = frac{{sqrt 2 }}{2}BC).

Giải bài tập 6 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giá trị biểu thức: (A = sin 25^circ + cos 25^circ - sin 65^circ - cos 65^circ ).

Giải bài tập 5 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Trong Hình 24, cho (widehat O = alpha ,AB = m) và (widehat {OAB} = widehat {OCA} = widehat {ODC} = 90^circ ). Chứng minh: a) (OA = m.cot alpha ); b) (AC = m.cos alpha ); c) (CD = m.{cos ^2}alpha ).

Giải bài tập 7 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Cho góc nhọn (alpha ). Biết rằng, tam giác (ABC) vuông tại (A) sao cho (widehat B = alpha ). a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn (alpha ) theo (AB,BC,CA). b) Chứng minh: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1;tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }};cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }};tan alpha .cot alpha = 1). Từ đó, tính giá trị biểu thức: (S = {sin ^2}35^circ + {cos ^2}35^circ ;T = tan 61^circ .cot 61^circ ).

Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Tính độ dài đường gấp khúc (ABCDEGH), biết các tam giác (OAB,OBC,OCD,ODE,OEG,OGH) là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là (B,C,D,E,G,H); các góc ({O_1},{O_2},{O_3},{O_4},{O_5},{O_6}) đều bằng (30^circ ) và (OA = 2cm) (Hình 25).

Giải bài tập 8 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hình 11 mô tả tia nắng mặt trời dọc theo (AB) tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc (alpha = widehat {ABH}). Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc (alpha ) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết (AH = 2m,BH = 5m).

Giải bài tập 7 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Hình 26 minh hoạ một phần con sông có bề rộng (AB = 100m).Một chiếc thuyền đi thẳng từ vị trí (B) bên này bờ sông đến vị trí (C) bên kia bờ sông. Tính quãng đường (BC) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết (widehat {ABC} = 35^circ ).

Giải bài tập 8 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Từ vị trí (A) ở phía trên một tòa nhà có chiều cao (AD = 68m), bác Duy nhìn thấy vị trí (C) cao nhất của một tháp truyền hình, góc tạo bởi tia (AC) và tia (AH) theo phương nằm ngang là (widehat {CAH} = 43^circ ). Bác Duy cũng nhìn thấy chân tháp tại vị trí (B) mà góc tạo bởi tia (AB) và tia (AH) là (widehat {BAH} = 28^circ ), điểm (H) thuộc đoạn (BC) (Hình 27). Tính khoảng cách (BD) từ chân tháp đến chân tòa nhà và chiều cao (BC) của tháp truyền hình (làm tròn kết