I. Trắc nghiệm

Câu 1:

Phương pháp:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Cách giải:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM;GM = \dfrac{1}{3}AM;AG = 2GM$

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Cách giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau $\Rightarrow y = \dfrac{a}{x}\left( {a \ne 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = \dfrac{a}{5} \Rightarrow a = 10.5 = 50$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ so với $x$ là $50$.

Ta có: $y = \dfrac{{50}}{x}$, khi $x = 2$ thì $y = \dfrac{{50}}{2} = 25$.

Chọn B.

Câu 3:

Phương pháp: 

Sử dụng tính chất tia phân giác của góc và định lí tổng 3 góc trong một tam giác.

Cách giải:

Ta có: $\widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - \widehat {{B_1}} - \widehat {{C_1}}$.

Vì BD và CE lần lượt là các tia phân giác của góc B và C nên ta có: $\widehat {{B_1}} = \dfrac{{\hat B}}{2};{\mkern 1mu} \widehat {{C_1}} = \dfrac{{\hat C}}{2}$.

Trong tam giác ABC ta có: $\hat B + \hat C = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - \hat A = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - {70^^\circ }{\rm{ \;}} = {110^^\circ }$.

$\Rightarrow \widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - \widehat {{B_1}} - \widehat {{C_1}} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - \dfrac{{\hat B + \hat C}}{2} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} - {55^^\circ }{\rm{ \;}} = {125^^\circ }$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc.

+ Giao của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

+ Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Cách giải:

Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì $I$cách đều ba cạnh của tam giác.

Chọn A.

Câu 5

Phương pháp:

+ Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác cân có hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng ${180^o}$

Cách giải:

+ Theo tính chất của tam giác cân thì A, D đúng.

+ Ta có $\angle A = \angle B = \dfrac{{{{180}^o} - \angle C}}{2} < {90^o}$ . Vậy B đúng.

+ Tam giác ABC cân tại C thì $AC > AB$hoặc $AC \le AB$. Vậy đáp án C sai.

Chọn C.

Câu 6.

Phương pháp:

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên lập được dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm được $x$.

Cách giải:

Đổi $10km = 10\,000m$

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên ta có:

$\dfrac{{43}}{5} = \dfrac{x}{{10\,000}}$

Suy ra $x = \dfrac{{43}}{5}.10\,000 = 86\,000\left( g \right) = 86\left( {kg} \right)$

Vậy $10km$ dây đồng nặng $86kg$

Chọn A.

Câu 7.

Phương pháp:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ hay $x.y = a$ (a là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Cách giải:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên hệ số tỉ lệ $a = {x_1}.{y_1} = \dfrac{{ - 1}}{2}.8 =  - 4$

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a =  - 4$ nên $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$

Vậy công thức biểu diễn y theo x là $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$

Vậy $a =  - 4$, $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$.

Chọn C.

Câu 8.

Phương pháp:

Vận dụng định lí: Nếu ba cạnh của tam giác bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Cách giải:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ có:

$AB = CD$ (giả thiết)

$AD = BC$ (giả thiết)

$BD$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta ABC = \Delta CDA\,\left( {c.c.c} \right)$

Do đó, $\angle ABC = \angle CDA;\angle BAC = \angle DCA;\angle BCA = \angle DAC$ (hai góc tương ứng)

Vậy đáp án C là sai.

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1.

Phương pháp

Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a.d = b.c$ từ đó tìm $x$

Cách giải:

a) $- 0,1:x =  - 0,2:0,06$

$\begin{array}{l}\dfrac{{ - 0,1}}{x} = \dfrac{{ - 0,2}}{{0,06}}\\\dfrac{{ - 0,1}}{x} = \dfrac{{ - 1}}{5}:\dfrac{3}{{50}}\\\dfrac{{ - 0,1}}{x} = \dfrac{{ - 1}}{5}.\dfrac{{50}}{3}\\\dfrac{{ - 0,1}}{x} = \dfrac{{ - 10}}{3}\end{array}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

$\begin{array}{l} - 0,1.3 =  - 10x\\ - 0,3 =  - 10x\\x =  - 0,3:\left( { - 10} \right)\\x = \dfrac{{ - 3}}{{10}}.\left( {\dfrac{1}{{ - 10}}} \right)\\x = \dfrac{3}{{100}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{{100}}$

b) $\dfrac{{2 - x}}{4} = \dfrac{{3x - 1}}{3}$        

$\begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) = 4\left( {3x - 1} \right)\\6 - 3x = 12x - 4\\ - 3x - 12x =  - 4 - 6\\ - 15x =  - 10\\x = \dfrac{2}{3}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{2}{3}$

c) $\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}$

$\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x =  - 4$

Câu 2

Phương pháp:

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C  lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z \in \mathbb{N}$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.

Cách giải:

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C  lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z > 0$)

Theo bài ra, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7}\\x + y + z = 960\end{array} \right.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 7}} = \dfrac{{960}}{{12}} = 80$

Khi đó, $\dfrac{x}{2} = 80 \Rightarrow x = 160$ (tmđk)

$\dfrac{y}{3} = 80 \Rightarrow y = 240$ (tmđk)

$\dfrac{z}{7} = 80 \Rightarrow y = 560$ (tmđk)

Vậy số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh là: Đơn vị A: 160 triệu đồng, đơn vị B: 240 triệu đồng, đơn vị C: 560 triệu đồng.

Bài 3.

Phương pháp:

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

+ Các định lí từ vuông góc tới song song.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

Cách giải:

a) Xét hai tam giác vuông$\Delta AHD$và$\Delta AKD$có:

+ $AD$chung

+ $\angle HAD = \angle KAD$ (vì$AD$là tia phân giác của $\angle BAC$)

$\Rightarrow \Delta AHD =$ (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Theo a) $\Delta AHD =$$\Delta AKD$$\Rightarrow$$AH = AK$(hai cạnh tương ứng)    (1)

Xét hai tam giác vuông$\Delta AMK$và$\Delta ANH$có:

+ $\angle A$chung

+$AH = AK$

+ $\angle AKM = \angle AHN = {90^o}$

$\Rightarrow$$\Delta AMK = \Delta ANH$(g.c.g)

$\Rightarrow$$AM = AN$    (2)

Mà $\begin{array}{l}AM = AH + HM\\AN = AK + KN\end{array}$                                    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $HM = KN$ (đpcm)

c) + Do $AM = AN$$\Rightarrow \Delta AMN$cân tại $A$

Vì $AD$là tia phân giác của góc $A$nên suy ra $AD$đồng thời là đường cao trong $\Delta AMN$ứng với cạnh $MN$.

$\Rightarrow AD \bot MN$ (đpcm).    (4)

+ $\Delta ABC$có $AD$là tia phân giác của góc $A$nên suy ra $AD$đồng thời là đường cao ứng với cạnh $BC$.

$\Rightarrow AD \bot BC$                               (5)

Từ (4), (5) suy ra $MN//BC$ (đpcm)

d) + Đường thẳng d song song với $AM$

$\Rightarrow$$\angle AMN = \angle EIN$(hai góc ở vị trí so le trong)                     (7)

Mặt khác $\Delta AMN$cân tại $A$$\Rightarrow$$\angle AMN = \angle ANM$                (8)

Từ (7) và (8) suy ra: $\angle EIN = \angle ANM = \angle ENI$

$\Rightarrow$$\Delta ENI$cân tại $E$

$\Rightarrow$$EI = EN$                                            (9)

+ Đường thẳng d song song với $AM$

$\Rightarrow$$\angle EIA = \angle MAI{\rm{     }}\left( { = \angle AIE} \right)$

$\Rightarrow$$\Delta EAI$cân tại $E$

$\Rightarrow$$EI = EA$                                            (10)

Từ (9) và (10) suy ra: $EI = EN = EA = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{2}AM \Leftrightarrow EI = \dfrac{1}{2}AM$ (đpcm)

Bài 4.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{z}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{z}{{x + y - 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 2 + x + y - 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2x + 2y + 2z}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{1}{2}$

Khi đó, $x + y + z = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

$\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x - y - z = 1\,\,\,\left( 2 \right)$

$\dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2y - x - z = 2\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow y + z = \dfrac{1}{2} - x$ thay vào (2), ta được: $2x - \left( {\dfrac{1}{2} - x} \right) = 1 \Rightarrow 3x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow x + z = \dfrac{1}{2} - y$ thay vào (3), ta được: $2y - \left( {\dfrac{1}{2} - y} \right) = 2 \Rightarrow 3y = \dfrac{5}{2} \Rightarrow y = \dfrac{5}{6}$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} - \left( {x + y} \right) = \dfrac{1}{2} - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}} \right) \Rightarrow z = \dfrac{{ - 5}}{6}$

Vậy $x = \dfrac{1}{2}\,\,;\,\,y = \dfrac{5}{6}\,\,;\,\,z = \dfrac{{ - 5}}{6}$.