I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Hai đại lượng $x,y$ trong công thức nào tỉ lệ nghịch với nhau:

     A. $y = 5 + x$                    B. $x = \dfrac{5}{y}$              C. $y = 5x$                            D. $x = 5y$

Câu 2. Biểu thức đại số biểu thị bình phương của một tổng hai số $a$ và $b$ là:

     A. ${a^2} - {b^2}$              B. ${a^2} + {b^2}$                  C. ${\left( {a - b} \right)^2}$   D. ${\left( {a + b} \right)^2}$                                                                            

Câu 3. Cho hai tam giác $ABC$ và tam giác $NMP$ có $BC = PM$; $\angle B = \angle P = 90^\circ$. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $ABC$ và tam giác $NMP$ bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?

      A. $BA = PM$                           B. $BA = PN$                                     C. $CA = MN$                                   D. $\angle A = \angle N$

Câu 4. Biểu thức nào sau đây không là đơn thức?

     A. $4{x^2}y\left( { - 2x} \right)$                                         B. $2x$                                  C. $2xy - {x^2}$ D. $2021$                                  

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB = AC$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ cắt $BC$. Vẽ $BM,CN$ vuông góc với $d$ với $M,N \in d$. Chọn đáp án sai:

                A. $AM = CN$  B. $BM = AN$  C. $\angle ABM = \angle ACN$ D.$\angle ABM = \angle CAN$

Câu 6. Cho tam giác $MNP$ có $NP = 1cm,MP = 7cm$. Độ dài cạnh $MN$ là một số nguyên (cm). Độ dài cạnh $MN$ là:

     A. $8cm$                          B. $5cm$                               C. $6cm$                               D. $7cm$  

Câu 7. Cho tam giác $ABC$, có $\angle A = {90^0};\angle C = {30^0}$. Khi đó quan hệ giữa ba cạnh $AB,AC,BC$ là:

     A. $BC > AB > AC$             B.  $AC > AB > BC$                 C. $AB > AC > BC$                  D. $BC > AC > AB$

Câu 8. Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác

A. cách đều 3 cạnh của tam giác.

B. được gọi là trực tâm của tam giác.

C. cách đều 3 đỉnh của tam giác.

D. cách đỉnh một đoạn bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (2 điểm) Tìm $x$ biết:

a)       $\dfrac{{5x - 2}}{3} = \dfrac{{ - 3}}{4}$                           b) $\left( {{x^2} - \dfrac{1}{4}} \right).\left( {x + \dfrac{2}{5}} \right) = 0$

c) $\dfrac{x}{{ - 12}} = \dfrac{{ - 3}}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)$

Bài 2. (2 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Biết số cây ở lớp 7A, 7B, 7C được trồng tỉ lệ với các số $3\,;\,5\,;\,8$ và hai lần số cây của lớp 7A cộng với $4$ lần số cây lớp 7B trồng được nhiều hơn số cây lớp 7C trồng được là $108$ cây. Tính số cây trồng được của mỗi lớp

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, kẻ $AH$vuông góc với $BC$$\left( {H \in BC} \right)$. Gọi $P$ là trung điểm của $HC$. Trên tia đối của tia $PA$ lấy điểm $Q$ sao cho $QP = PA$.

a) Chứng minh rằng: $\Delta APH = \Delta QPC$ và $QC$ vuông góc với$BC$.

b) Chứng minh rằng: $QC = AH$từ đó suy ra $AC > QC$.

c) Chứng minh rằng: $\angle PAC < \angle HAP$

d) Gọi $I$ là trung điểm của $BQ$. Chứng minh rằng ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Bài 4. (0,5 điểm) Cho các số thực $a,b,c,d,e$ thỏa mãn: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{d}{e}$.

Chứng minh rằng: ${\left( {\dfrac{{2019b + 2020c - 2021d}}{{2019c + 2020d - 2021e}}} \right)^3} = \dfrac{{{a^2}}}{{bc}}$.

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

I. Trắc nghiệm

Câu 1.

Phương pháp:

Vận dụng định nghĩa về đại lượng tỉ lệ nghịch.

Cách giải:

Ta có: $x = \dfrac{5}{y}$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Chọn B.

Câu 2.

Phương pháp:                

Dùng các chữ, các số và các phép toán để diễn đạt các mệnh đề phát biểu bằng lời.

Cách giải:

Bình phương của một tổng hai số $a$ và $b$ là: ${\left( {a + b} \right)^2}$

Chọn D.

Câu 3.

Phương pháp:

Hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông

Cách giải:

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $NMP$ có:

$\angle B = \angle P = 90^\circ$ (gt)

$BC = PM$ (gt)

Mà: $BC$, $PM$ là hai cạnh góc vuông của hai tam giác $ABC$ và $NPM$

Nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm hai cạnh huyền bằng nhau là $CA = MN$.

Chọn C.

Câu 4.

Phương pháp:

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Cách giải:

Biểu thức: $2xy - {x^2}$ không là một đơn thức.

Chọn C.

Câu 5.

Phương pháp:

Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Cách giải:

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = 90^\circ$

$\Rightarrow \angle BAM = 90^\circ  - \angle CAM$

Và $\Delta ANC$ vuông tại $N$ nên $\angle ACN + \angle CAM = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \angle ACN = 90^\circ  - \angle CAM$

Do đó $\angle BAM = \angle ACN$

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta ACN$ có:

         $\angle BMA = \angle ANC = 90^\circ$

$\angle BAM = \angle ACN$ (cmt)

$AB = AC$ (gt)

Nên $\Delta BAM = \Delta ACN$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: $MA = NC$ (hai cạnh tương ứng) nên A đúng

                 $BM = AN$ (hai cạnh tương ứng) nên B đúng

              $\angle ABM = \angle CAN$ (hai góc tương ứng) nên D đúng

Chọn C.

Câu 6.

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức trong tam giác:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là $a,b,c$ nếu $\left| {b - c} \right| < a < b + c$.

+ Trong trường hợp xác định được $a$ là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ thì điều kiện tồn tại tam giác là $a < b + c$.

Cách giải:

Xét tam giác $MNP$, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {NP - MP} \right| < MN < NP + MP\\ \Rightarrow \left| {1 - 7} \right| < MN < 1 + 7\\ \Rightarrow 6 < MN < 8\end{array}$

Vì độ dài cạnh $MN$ là một số nguyên nên $MN = 7\,\left( {cm} \right)$    

Chọn D.

Câu 7.

Phương pháp:

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Cách giải:

Xét $\Delta ABC$ có: $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

                     $\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} + \angle B + {30^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \angle B + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \angle B = {60^0}\end{array}$

Ta có: $\angle C < \angle B < \angle A$ (vì ${30^0} < {60^0} < {90^0}$)

$\Rightarrow AB < AC < BC$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Chọn D.

Câu 8.

Phương pháp

Tính chất đồng quy của 3 đường trung trực của tam giác

Lời giải

3 đường trung trực của tam giác đồng quy tại 1 điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác.

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1.

Phương pháp

a, c) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

b) Phương trình $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , chia hai trường hợp để giải:

+ Trường hợp 1: $A\left( x \right) = 0$

+ Trường hợp 2: $B\left( x \right) = 0$

Cách giải:

Câu 2

Phương pháp:

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $x,y,z$ (cây) (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.

Cách giải:

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $x,y,z$ (cây) (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$)

Vì số cây ở lớp 7A, 7B, 7C được trồng tỉ lệ với các số $3\,;\,5\,;\,8$ nên ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8}$

Vì hai lần số cây của lớp 7A cộng với $4$ lần số cây lớp 7B trồng được nhiều hơn số cây lớp 7C trồng được là $108$ cây nên ta có: $2x + 4y - z = 108$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{{4y}}{{20}} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{{2x + 4y - z}}{{6 + 20 - 8}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6$

Khi đó, $\dfrac{x}{3} = 6 \Rightarrow x = 18$ (tmđk)

            $\dfrac{y}{5} = 6 \Rightarrow y = 30$ (tmđk)

$\dfrac{z}{8} = 6 \Rightarrow y = 48$ (tmđk)

Vậy số cây ba lớp trồng được là: Lớp 7A: 18 cây; lớp 7B: 30 cây, lớp 7C: 48 cây.

Bài 3.

Phương pháp:

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác (Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)

+ Tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

a. Xét $\Delta APH$và $\Delta QPC$có:

+ $HP = PC$(gt)

+ $\angle APH = \angle QPC$(đối đỉnh)

+ $QP = PA$ (gt)

$\Rightarrow$$\Delta APH = \Delta QPC$ (c.g.c) (đpcm).

$\Rightarrow \angle AHP = \angle QCP = {90^o}$(hai góc tương ứng)

$\Rightarrow QC \bot BC$(đpcm).

b. Theo (a) $\Delta APH = \Delta QPC$

$\Rightarrow QC = AH$(hai cạnh tương ứng) (1)

Mà $\Delta AHC$vuông tại H $\Rightarrow AH < AC$(cạnh góc vuông <cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2), suy ra $QC < AC$(đpcm).

c. Xét $\Delta AQC$có $QC < AC$$\Rightarrow \angle QAC < \angle AQC$                    (3)  (Mối quan hệ giữa cạnh- góc trong tam giác)

Mặt khác $\Delta APH = \Delta QPC \Rightarrow \angle HAP = \angle PQC = \angle AQC$           (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \angle HAP < \angle QAC$ hay $\angle HAP < \angle PAC$(đpcm).

d. Xét $\Delta ABQ$có $BP$là trung tuyến ứng với cạnh $AQ$

Mà $BH = 2HP$(do $H$ là trung điểm của $BC$, $P$là trung điểm của $HC$) $\Rightarrow H$là trọng tâm $\Delta ABQ$    (5)

Lại có $I$là trung điểm của $BQ$ $\Rightarrow AI$là trung tuyến ứng với cạnh $BQ$          (6)

Từ (5), (6)  $\Rightarrow H \in AI$

$\Rightarrow A,H,I$thẳng hàng (đpcm)

Bài 4.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{d}{e}$ nên $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{2019b}}{{2019c}} = \dfrac{{2020c}}{{2020d}} = \dfrac{{2021d}}{{2021e}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{{2019b}}{{2019c}} = \dfrac{{2020c}}{{2020d}} = \dfrac{{2021d}}{{2021e}} = \dfrac{{2019b + 2020c - 2021d}}{{2019c + 2020d - 2021e}}$

Mà $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{2019b}}{{2020c}}$ và $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ (gt) nên ${\left( {\dfrac{{2019b + 2020c - 2021d}}{{2019c + 2020d - 2021e}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^3} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\dfrac{b}{c} = \dfrac{{{a^2}}}{{bc}}$ (đpcm)