Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 2. (2 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).

Bài 3. (3,5 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\angle C = {30^0},$ đường cao $AH.$ Trên đoạn $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB.$

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHD$ .

b) Chứng minh $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Từ $C$ kẻ $CE$ vuông góc với đường thẳng $AD$ $\left( {E \in \,AD} \right)$ . Chứng minh $DE = HB$ .

d) Từ $D$ kẻ $DF$ vuông góc với $AC$ ( $F\,$ thuộc $AC$ ), $I$ là giao điểm của $CE$ và $AH.$ Chứng minh ba điểm $I,\,D,\,F$ thẳng hàng.

Bài 4. (0,5 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực khác không $\left( {b \ne c} \right)$ và $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a - c}}{{c - b}}$ .

Lời giải

I. Trắc nghiệm:

1. C	2. D	3. A	4. A
5. C	6. B	7. C	8. C

Câu 1:

Phương pháp:

Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với đỉnh cân đồng thời là đường trung trực, đường cao, đường phân giác.

Cách giải:

Tam giác ABC cân tại B nên đường trung tuyến BN đồng thời là đường phân giác.

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Cách giải:

Ta có: $\angle C = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{90}^0}} \right) = {40^0}$ .

$\Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B$

$\Rightarrow AB < BC < AC$ hay $AC > BC > AB$ .

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận

Cách giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận $\Rightarrow y = ax\left( {a \ne 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = a.5 \Rightarrow a = 2$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ là $a = 2$ .

Ta có: $y = 2x$ , khi $x = 2$ thì $y = 2.2 = 4$ .

Chọn A.

Câu 4:

Phương pháp:

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Hệ số tỉ lệ là: -21 . 12 = -252.

Khi x = 7 thì y = -252 : 7 = -36.

Chọn A

Câu 5:

Phương pháp:

Mô tả

Cách giải:

Tổng lập phương của hai số x và y là x³ + y³

Câu 6:

Phương pháp:

Tính chất tỉ lệ thức

Cách giải:

$\dfrac{x}{{21}} = \dfrac{1}{{ - 3}} \Rightarrow x.( - 3) = 1.21 \Rightarrow x = \dfrac{{1.21}}{{ - 3}} = - 7$

Chọn B

Câu 7:

Phương pháp: Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$ .

Cách giải:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)$ .

Chọn C.

Câu 8:

Phương pháp: Bất đẳng thức tam giác: Kiểm tra tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất không. Nếu không thì bộ 3 độ dài đó không tạo được thành tam giác.

Cách giải:

Vì 1 + 2 = 3 nên không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Chọn C.

II. TỰ LUẬN

Bài 1:

Phương pháp:

Đại lượng x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ a nếu xy=a (không đổi).

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Gọi a là hệ số tỉ lệ của x đối với y, ta có:

a = x.y (a khác 0)

Thay x = 6, y = 3 vào công thức a = xy, ta được:

a = 6 . 3 = 18.

Vậy hệ số tỉ lệ nghịch của x đối với y là a = 18.

b) Do a = x.y nên $x = \dfrac{a}{y}$

+ Với y = -3 ta có: $x = \dfrac{{18}}{{ - 3}} = - 6.$

+ Với y = 9 ta có: $x = \dfrac{{18}}{9} = 2.$

Bài 2:

Phương pháp:

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$ )

Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.

Cách giải:

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$ )

Vì đội I có nhiều hơn đội II là $4$ người nên: $x - y = 4$

Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

$4x = 6y = 8z$ hay $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48$

Từ $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12$ (tmđk)

$\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow x = 8$ (tmđk)

$\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6$ (tmđk)

Vậy số công nhân của $3$ đội lần lượt là: $12$ công nhân, $8$ công nhân, $6$ công nhân.

Bài 3:

Phương pháp:

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$ .

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Cách giải:

a) Thu gọn:

$\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}$

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$ .

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}$

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: $C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$ .

Vì ${x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x$ và ${x^2} > 0,\,\forall \,x$ nên $C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.$

$\Rightarrow$ không có giá trị nào của $x$ làm cho $C\left( x \right) = 0$ .

$\Rightarrow \,C\left( x \right)$ là đa thức không có nghiệm.

Bài 4: Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

b) Chứng minh $\Delta ABD$ là tam giác cân có một góc bằng ${60^0}$ , rồi suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Chứng minh $DE = DH$ (hai cạnh tương ứng). Mà $DH = DB$ (giả thiết) $\Rightarrow DE = DB$ .

d) Chứng minh $FD//AB$ rồi sau đó chứng minh $DI//AB$ , rồi suy ra $I,\,D,\,F$ là ba điểm thẳng hàng.
Cách giải:

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHD$ ta có:

$HD = HB$ (gt)

$AH\,\,chung$

$\angle AHB = \angle AHD = {90^0}$
$\Rightarrow$ $\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (c.g.c)

b) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ,

có $\angle C = {30^0} \Rightarrow \angle B = {90^0} - {30^0} = {60^0}$ (định lý tổng ba góc của một tam giác).

Vì $\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (cmt)

$\Rightarrow AB = AD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $A$ mà $\angle B = {60^0}$

Do đó: $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều (cmt)

$\Rightarrow \angle DAB = {60^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CAD = {90^0} - \angle DAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {90^0} - {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {30^0}\end{array}$

Xét $\Delta ACD$ có $\angle ACD = \angle \,CAD = {30^0}$ .

$\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $D.$

$\Rightarrow \,CD = AD$

Xét $\Delta DEC$ và $\Delta DHA$ có:

$CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)$

$\angle E = \angle H = {90^0}$

$\angle CDE = \angle ADH$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \,\Delta DEC = \Delta DHA$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow DE = DH$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DH = DB$ (giả thiết)

$\Rightarrow DE = DB$ .

d) Từ $D$ kẻ $DF$ vuông góc với $AC$ ( $F\,$ thuộc $AC$ ), $I$ là giao điểm của $CE$ và $AH.$ Chứng minh ba điểm $I,\,D,\,F$ thẳng hàng.

Ta có:

$\begin{array}{l}DF \bot AC\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow DF//AB\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Ta lại có:

$\angle FDC = \angle HDI$ (đối đỉnh)

Mà $\angle FDC = {90^0} - \angle C = {90^0} - {30^0} = {60^0}$

$\Rightarrow \angle FDC = \angle HDI = {60^0}$

Mà $\angle B = {60^0}$

$\Rightarrow \angle B = \angle DHI$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó: $DI//AB$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\angle I,D,B$ là ba điểm thẳng hàng.

Câu 5:

Phương pháp:

Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau để chứng minh.

Cách giải:

Ta có: $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{c} = \dfrac{{a + b}}{{2ab}}\\ \Rightarrow 2ab = ac + bc\\ \Rightarrow ab + ab = ac + bc\\ \Rightarrow ab - bc = ac - ab\\ \Rightarrow b\left( {a - c} \right) = a\left( {c - b} \right)\end{array}$