I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Cho tam giác $MNP$ cân tại $M$ có $\angle N = {50^0}$. Số đo của góc $M$ là:

     A. ${65^0}$                      B. ${50^0}$                           C. ${130^0}$                         D. ${80^0}$     

Câu 2. Cho $\Delta ABC$ có $\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}$ thì quan hệ giữa ba cạnh $AB,AC,BC$ là:

A. $BC > AC > AB$                  

B. $AB > BC > AC$

C. $AB > AC > BC$                 

D. $AC > BC > AB$

Câu 3. Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết khi $x = 5$ thì $y = 10$. Vậy khi $x = 2$ thì $y$ bằng bao nhiêu?

A. $4$                                    

B. $25$                                             

C. $10$                                             

D.$20$

Câu 4. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –21 thì y = 12. Khi x = 7 thì y bằng:

A. –36;

B. 36;

C. –4;

D. 4.

Câu 5. Tính $2{x^3}.5{x^4}$ta thu được kết quả là:

     A. $10{x^4}$                     B. $10{x^3}$                     C. $10{x^7}$                     D. $10{x^{12}}$

Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x² – 4x + 3 – 5x⁵  là

A. 10;

B. -4;

C. 3;

D. -5.

Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?

A. GM = 6 cm;

B. GM = 9 cm;

C. GM = 3 cm;

D. GM = 18 cm.

Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.

     A. 1                                    B.  $\dfrac{1}{5}$              C.  $\dfrac{5}{6}$              D.  $\dfrac{1}{6}$

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Tìm $x$ biết:

a) $\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}$                                                     

b)  $\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}$

Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).

Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:

$A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3$

$B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x$

$C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ , đường cao $AH\left( {H \in BC} \right).$

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC.$

b) Từ $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $D.$ Chứng minh $AD = DH$

c) Gọi $E$ là trung điểm $AC,\,CD$ cắt $AH$ tại G. Chứng minh $B,G,E$ thẳng hàng.

d) Chứng minh chu vi $\Delta ABC > AH + 3BG$.

Bài 5. (0,5 điểm) 

Cho đa thức $f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d$  với $a$ là số nguyên dương và $f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019$. Chứng minh $f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)$ là hợp số.

I. Trắc nghiệm:

Câu 1:

Phương pháp:                

Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.

Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

Cách giải:

Vì tam giác $MNP$ cân tại M nên $\widehat N = \widehat P = 50^\circ$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $MNP$ có:

$\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M + 50^\circ  + 50^\circ  = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M = 80^\circ \end{array}$

Chọn D.

Câu 2:

Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Cách giải:

Ta có: $\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}$.

$\Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B$

$\Rightarrow AB < BC < AC$ hay $AC > BC > AB$.

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận

Cách giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận $\Rightarrow y = ax\left( {a \ne 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = a.5 \Rightarrow a = 2$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ là $a = 2$.

Ta có: $y = 2x$, khi $x = 2$ thì $y = 2.2 = 4$.

Chọn A.

Câu 4:

Phương pháp:

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Hệ số tỉ lệ là: -21 . 12 = -252.

Khi x = 7 thì y = -252 : 7 = -36.

Chọn A

Câu 5:

Phương pháp:

Ta có công thức nhân hai lũy thừa ${a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}$

Cách giải:

$2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}$

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.

Cách giải:

Đa thức M = 10x² – 4x + 3 – 5x⁵ có hệ số cao nhất là -5.

Chọn D

Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.

Câu 7:

Phương pháp: Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Cách giải:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)$.

Chọn C.

Câu 8:

Phương pháp:

Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Cách giải:

Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.

Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.

Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là $\dfrac{1}{6}$

Chọn D.

II. TỰ LUẬN

Bài 1:

 Phương pháp:

a) Thực hiện các phép toán với phân số.

b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

Cách giải:

a) $\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}$

            $\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} =  - 1\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x =  - 1$

b)  $\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}$

$\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x =  - 4$

Bài 2:

Phương pháp:

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$)

Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.

Cách giải:

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$)

Vì đội I có nhiều hơn đội II là $4$ người nên: $x - y = 4$

Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

$4x = 6y = 8z$ hay $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48$

Từ $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12$ (tmđk)

      $\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow y = 8$ (tmđk)

      $\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow z = 6$ (tmđk)

Vậy số công nhân của $3$ đội lần lượt là: $12$ công nhân, $8$ công nhân, $6$ công nhân.

Bài 3:

Phương pháp:

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Cách giải:

a) Thu gọn:

$\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}$

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}$

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: $C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$.

Vì ${x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x$ và ${x^2} > 0,\,\forall \,x$ nên $C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.$

$\Rightarrow$ không có giá trị nào của $x$ làm cho $C\left( x \right) = 0$.

$\Rightarrow \,C\left( x \right)$ là đa thức không có nghiệm.

Bài 4: Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

b) Chứng minh $\Delta DHA$ cân tại $D$

$\Rightarrow AD = DH$ (hai cạnh bên của tam giác cân)

c) Chứng minh $DB = DA$ hay D là trung điểm của AB.

Suy ra $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $BE$ là một đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên nó đi qua G. Từ đó suy ra $B,E,G$ thẳng hàng.

d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Cách giải:

a) Xét hai tam giác: $\Delta AHB\& \Delta AHC.$

Ta có: $\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)$

$AB = AC$ và $\angle B = \angle C$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

 $\Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.$ (cạnh huyền góc nhọn)

b) Chứng minh $AD = DH$

Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác

$\Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}$        (2)

Mà $\angle {H_2} = \angle {A_2}$     (1)                 (hai góc ở vị trí so le trong)

Từu (1) và (2) suy ra: $\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)$

Tam giác $DHA$ có hai góc ở đáy bằng nhau $\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)$

$\Rightarrow \Delta DHA$ cân tại $D$

$\Rightarrow AD = DH$ (hai cạnh bên của tam giác cân)

c)

Vì $DH//AC\left( {gt} \right)$ nên $\angle ACB = \angle {H_1}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)  (1)

Mà $\angle ACB = \angle ABC$ (do tam giác $ABC$ cân tại A)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle {H_1} = \angle ABC$

Xét $\Delta DHB$ có: $\angle {H_1} = \angle ABC$(cmt)

Nên $\Delta DHB$ cân tại D. Do đó: $DB = DH$

Mặt khác: $AD = DH$ (chứng minh a))

Suy ra: $AD = DB$ Tức D là trung điểm của AB.

Xét $\Delta ABC$ có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà $CD \cap AH = G$ (giả thiết)

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác $B,E,G$ thẳng hàng.

d) Ta có: $DC,BE,AH$ lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh $AB;AC;BC$

Khi đó:

$\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}$

Mà $DC = BE\,$ (do $\Delta ABC$ cân tại A)

$\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}$

Vậy: $AB + AC + BC > AH + 3BG$

Câu 5:

Phương pháp:

Chứng minh $f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)$ là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.

*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.

Cách giải:

Ta có:

$f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d$

$f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d$

$\Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019$

Lại có:

$f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d$

$f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.1019\end{array}$

$\Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)$ là hợp số. (đpcm).