Ta có:

$\begin{array}{l}2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\\ = \left( {2{x^4}y + 5{x^4}y - 2{x^4}y} \right) + \left( { - 4{y^5} - 7{y^5}} \right) + {x^2}{y^2}\\ = 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\end{array}$

Đa thức ${{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}$ là đa thức biến x với bậc nhỏ nhất của biến x là 2 nên A, B, C không thỏa mãn. (4xy có biến y; 6x³ có bậc của x là 3; x⁵ có bậc của x là 5).

Vậy đa thức ${{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}$ chia hết cho đơn thức 4x².

a. $\frac{{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}}{{x + 2}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4$ nên a – 3.

b. Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{{x + y}}{{x - y}}$ là: $1:\frac{{x + y}}{{x - y}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}$ nên b – 1.

c. Phân thức đối của phân thức $\frac{3}{{x - y}}$ là: $- \left( {\frac{3}{{x - y}}} \right) = \frac{{ - 3}}{{x - y}}$ nên c – 2.

Đáp án: a – 3; b – 1; c – 2.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Vì DE // AF; DF // AE (gt) => AEDF là hình bình hành.

Để hình bình hành AEDF là hình chữ nhật thì $\widehat A = {90^0}$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên AM = $\frac{1}{2}$BC = BM = MC.

Mà AB = $\frac{1}{2}$BC (gt)

=> AM = AB = BM  hay tam giác ABM đều.

Hình khai triển của chóp tam giác đều có độ dài cạnh bên bằng 4 cm và độ dài cạnh đáy bằng 3cm là hình b.

Thể tích hình chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3}{S_d}.h = \frac{1}{3}{3^2}.2 = 6\left( {c{m^3}} \right)$.

Xét hình thoi ABCD có AC = 8cm; BD = 10cm nên AO = 4 cm và OD = 5cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OAD, ta có:

$AD = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{4^2} + {5^2}}  = \sqrt {41} \left( {cm} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}f\left( { - 5} \right) = {\left( { - 5} \right)^2} = 25\\f\left( 5 \right) = {5^2} = 25\\ \Rightarrow f\left( { - 5} \right) + f\left( 5 \right) = 25 + 25 = 50\end{array}$

Ba chấm sáng trên màn hình ra đa của đài nằm ở góc phần tư thứ I.

Giá bán 1 kg thanh long ruột đỏ loại I là 32 000 đồng nên giá bán x (kg) thanh long là: 32 000.x (đồng).

Vậy ta có công thức biểu thị là y = 32 000x.

Hình chiếu của điểm A trên trục hoành là 1, trên trục tung là 4 nên tọa độ điểm A là A(1; 4). => A đúng.

Hình chiếu của điểm B trên trục hoành là 3, trên trục tung là 2 nên tọa độ điểm B là B(3; 2). => B đúng.

Hình chiếu của điểm C trên trục hoành là 2, trên trục tung là -2 nên tọa độ điểm C là C(2;-2). => C đúng.

Hình chiếu của điểm D trên trục hoành là -3, trên trục tung là -1 nên tọa độ điểm D là C(-3;-1). => D sai.

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:

$\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ne 0\\x - 4 \ne 0\\{x^2} - 16 \ne 0\end{array} \right. \\ suy \; ra \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne 4\end{array} \right.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là $x \ne \pm 4$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{{x^2} - 16}}\\ = \frac{{x - 4}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{x - 4 + {x^2} + 4x + 24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5x + 20}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{5}{{x - 4}}\end{array}$

c) Tại x = 10 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta được: $A = \frac{5}{{10 - 4}} = \frac{5}{6}$.

d) Biểu thức A nguyên thì $\frac{5}{{x - 4}}$ nguyên. $\frac{5}{{x - 4}}$ nguyên khi và chỉ khi $\left( {x - 4} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}$.

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy các số nguyên x để giá trị của biểu thức A là số nguyên là 3; 5; -1; 9.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\\ = \left( {{x^2} + 5x + x + 5} \right) + \left( {{x^3} - {2^3}} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\\ = {x^2} + 6x + 5 + {x^3} - 8 - {x^3} - {x^2} + 2x\\ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {6x + 2x} \right) + \left( {5 - 8} \right)\\ = 8x - 3\end{array}$

b) 74² + 24² – 48.74 = 74² + 24² – 2.24.74 = (74 – 24)² = 50² = 2 500.

a) Vẽ đồ thị:

* y = 2x - 1:

Cho $x = 0 \Rightarrow y =  - 1$ có C(0; -1)

Cho $y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ có D($\frac{1}{2};0$)

Đường thẳng CD là đồ thị hàm số y = 2x – 1.

* y = x + 2:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2$ có M(0; 2)

Cho $y = 0 \Rightarrow x =  - 2$ có N(-2; 0)

Đường thẳng MN là đồ thị hàm số y = x + 2

Ta được đường thẳng ${d_1};{d_2}$ .

b) Tìm tọa độ của điểm A:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2x – 1 = x + 2 $\Leftrightarrow$ 2x – x = 2 + 1 $\Leftrightarrow$ x = 3.

Với x = 3; y = 2.3 – 1 = 5 => A(3; 5).

Vậy tọa độ của điểm A(3; 5).

c) Vì đồ thị hàm số ${d_3}$ song song với ${d_1}$ nên a = 2 và b $\ne$ -1. => ${d_3}$: y = 2x + b.

Vì đồ thị hàm số ${d_3}$ cắt đường thẳng ${d_2}$ tại B có hoành độ bằng -1 nên tung độ của điểm B là y = -1 + 2 = 1. => B(-1;1) .

Vì B thuộc đồ thị hàm số ${d_3}$ nên thay tọa độ của điểm B vào hàm số y = 2x + b, ta được:

1 = 2.(-1) + b => b = 3 (thỏa mãn).

=> Hàm số cần tìm là y = 2x + 3.

1. 

Gọi các điểm D, E và F như trên hình vẽ. Khi đó ta có các tam giác vuông ACD vuông tại D; BCE vuông tại E và ABF vuông tại F.

Tam giác ACD có AD = 3cm; CD = 4cm. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow AC = 5cm\end{array}$

Tam giác BCE có BE = 5cm; CE = 3cm. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCE, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = B{E^2} + C{E^2} = {5^2} + {3^2} = 34\\ \Rightarrow BC = \sqrt {34} cm\end{array}$

Tam giác ABF có AF = 1cm; BF = 2cm. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABF, ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{F^2} + F{B^2} = {1^2} + {2^2} = 5\\ \Rightarrow AB = \sqrt 5 cm\end{array}$

2. 

a) Xét tứ giác AKCM có: I là trung điểm của AC; I là trung điểm của KM (vì M đối xứng với K qua I)

=> AKCM là hình bình hành.

Xét tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC. => $\widehat {AMC} = {90^0}$.

Hình bình hành AKCM có $\widehat {AMC} = {90^0}$ nên là hình chữ nhật.

b) Ta có AKCM là hình chữ nhật nên AK // CM và AK = CM.

Mà BM = CM nên BM = AK và BM // AK. => Tứ giác AKMB là hình bình hành.

c) Để AKCM là hình chữ nhật thì AM = MC = $\frac{1}{2}$ Mà AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên khi đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC hay tam giác ABC vuông tại A.

$\begin{array}{l}A =  - {x^2} + \frac{2}{3}x - 1\\ =  - \left( {{x^2} - 2x.\frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + 1} \right)\\ =  - \left[ {{x^2} - 2x.\frac{1}{3} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{8}{9}} \right]\\ =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{8}{9}} \right] =  - {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{8}{9}\end{array}$

Ta có $- {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0$ nên $- {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{8}{9} < 0$ với mọi x.

Vậy A < 0 hay luôn luôn âm với mọi giá trị x.