Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{x + 2}}$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi $m > 0$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị $\left( H \right)$ của hàm số đã cho với $m = 1$.

c) Giả sử $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( H \right)$ tại điểm $M \in \left( H \right)$ bất kì. Chứng minh rằng nếu $\Delta$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của $\left( H \right)$ tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.