Ta có: $\frac{{5{x^2} - 10xy}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^3}}} = \frac{{5x\left( {x - 2y} \right)}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^3}}} = \frac{{5x}}{{2{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}$

Đáp án A

Phân thức đối của phân thức $\frac{{ - 2y}}{{5{x^3}}}$ là $- \left( {\frac{{ - 2y}}{{5{x^3}}}} \right) = \frac{{2y}}{{5{x^3}}}$.

Đáp án B

Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{3}{{2{x^3}{y^4}}}$ và $\frac{4}{{5{x^4}{y^3}}}$ là: $10{x^4}{y^4}$.

Đáp án A

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x - 5} \right)\left( {3 + x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( { - x - 2} \right)\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{ - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}} = \frac{{ - x - 2}}{{x + 8}}\end{array}$

Đáp án B

Ta có:

$\frac{{x{y^2}}}{{xy}} + \frac{{{x^2}y}}{{xy}} = \frac{{x{y^2} + {x^2}y}}{{xy}} = \frac{{xy\left( {y + x} \right)}}{{xy}} = x + y$.

Đáp án D

Ta có:

$\begin{array}{l}K\left( x \right):\frac{x}{{4 - x}} = \frac{{4 - x}}{2}\\K\left( x \right) = \frac{{4 - x}}{2}.\frac{x}{{4 - x}}\\K\left( x \right) = \frac{{\left( {4 - x} \right).x}}{{2\left( {4 - x} \right)}}\\K\left( x \right) = \frac{x}{2}\end{array}$

Đáp án C

$\Delta GHI\backsim \Delta FEI$ nên $\frac{{HI}}{{IE}} = \frac{{GH}}{{EF}}$

Thay số: $\frac{x}{y} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án D

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {DBC}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc so le trong)

nên $\Delta ABD\backsim \Delta BDC$ (g.g)

suy ra $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}}$, do đó $B{D^2} = AB.CD = 4.9 = 36$

suy ra $BD = \sqrt {36}  = 6\left( {cm} \right)$.

Đáp án A

Khoảng cách từ tàu đến đỉnh ngọn hải đăng là độ dài đoạn BC trong hình vẽ.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {45^2} + {60^2}$

Suy ra $BC = \sqrt {{{45}^2} + {{60}^2}}  = 75\left( m \right)$

Đáp án A

Vì DM // AC nên $\Delta BDM\backsim \Delta BAC$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Vì ME // AC nên $\Delta CEM\backsim \Delta CAB$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Suy ra $\Delta BDM\backsim \Delta MEC$.

Do đó $\frac{{BD}}{{ME}} = \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{DM}}{{EC}} = \frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{{{C_{\Delta BDM}}}}{{{C_{\Delta MEC}}}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án B

Để $\Delta ABC\backsim \Delta MNP\left( \widehat{A}=\widehat{M}=90{}^\circ  \right)$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện  $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}}$ hoặc $\frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}}$.

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án C

Cặp hình trong hình 1 là hai hình đồng dạng.

Đáp án A

a) Sai

Ta có:

$A = \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + x}} + \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{2x}}$ với $x \ne 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne  - 1$

$\begin{array}{l} = \left[ {\frac{{{x^2} + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right].\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.2x}}{{x{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\ = \frac{2}{{x + 1}}\end{array}$

b) Sai

Vì $x =  - 1$ không thoả mãn điều kiện xác định nên ta không tính được giá trị của A.

c) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}A = 1\\\frac{2}{{x + 1}} = 1\\x + 1 = 2\\x = 2 - 1\\x = 1\end{array}$

Vậy $x = 1$ thì $A = 1$.

d) Sai

Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{{x + 1}}$ nguyên, hay $\left( {x + 1} \right) \in$ Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$.

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x = \left\{ { - 3; - 2;1} \right\}$ thì A có giá trị nguyên.

Đáp án: SSĐS

a) Đúng

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat {ABD} = \widehat {ACB}$ (chung)

$\widehat A$ chung

suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (g.g)

b) Đúng

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (ý a) nên $\widehat {ADB} = \widehat {ABC}$ (2 góc tương ứng)

c) Sai

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$

Thay số $\frac{2}{4} = \frac{{AD}}{2}$, suy ra $AD = \frac{{2.2}}{4} = 1\left( {cm} \right)$.

Do đó $DC = AC - AD = 4 - 1 = 3\left( {cm} \right)$.

d) Đúng

Ta có: $\widehat {ADB} = \widehat {ABC}$ (ý b), hay $\widehat {ADE} = \widehat {ABH}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADE$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AED}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {ADE} = \widehat {ABH}$ (cmt)

suy ra $\Delta ABH\backsim \Delta ADE$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{2}{1} = 2 = k$.

Do đó $\frac{{{S_{\Delta ABH}}}}{{{S_{\Delta ADE}}}} = {k^2} = {2^2} = 4$. Suy ra ${S_{\Delta ABH}} = 4{S_{\Delta ADE}}$.

Đáp án: ĐĐSĐ

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{{3 - x}} - H\left( x \right) = \frac{2}{{3 - x}}\\H\left( x \right) = \frac{x}{{3 - x}} - \frac{2}{{3 - x}}\\H\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{3 - x}}\end{array}$

ĐKXĐ của $H\left( x \right)$ là $x \ne 3$.

Thay $x = 2$ (TM) vào $H\left( x \right)$, ta được:

$H\left( 2 \right) = \frac{{2 - 2}}{{3 - 2}} = 0$.

Đáp án: 0

Vì cái cây và ngôi nhà cùng vuông góc với mặt đất nên chúng song song với nhau nên CD // AB.

Do đó $\Delta CDE\backsim \Delta ABE$ (định lí hai tam giác bằng nhau)

Suy ra $\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}}$ hay $\frac{{CE}}{{AC + CE}} = \frac{{CD}}{{AB}}$

Thay số: $\frac{8}{{32 + 8}} = \frac{5}{{AB}}$, suy ra $AB = 5:\frac{8}{{32 + 8}} = 25\left( m \right)$

Vậy chiều cao $AB$ của ngôi nhà là 25m.

Đáp án: 25

Giả sử ta có tam giác ABC với chiều rộng AB = 11,8 inch, chiều dài AC = 14,8 inch.

Khi đó đường chéo của tam giác ABC là:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {11,{8^2} + 14,{8^2}}  \approx 19\left( {inch} \right)$

Vậy tivi đó thuộc loại 19 inch.

Đáp án: 19

$\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}}$ (ĐKXĐ:$y \ne 0$, $y \ne  - \frac{1}{2}$)

Ta có: $\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}} = 1$

$\begin{array}{l}1 + {y^2} + \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y}\\1 + {y^2} + \frac{1}{y} - 2 - \frac{1}{y} = 0\\{y^2} - 1 = 0\\{y^2} = 1\\y =  \pm 1\end{array}$

Vậy tổng các giá trị của y để biểu thức $\frac{{1 + {y^2} + \frac{1}{y}}}{{2 + \frac{1}{y}}}$ bằng 1 là: $- 1 + 1 = 0$

Đáp án: 0

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{2\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{x}{{2x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{1}{{2x}}\end{array}$

b) Ta có:

$\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^3} + 4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}$

$\begin{array}{l}\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^2}\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\\frac{A}{{x - 2}} = \frac{{2{x^2}}}{{x - 2}}\end{array}$

suy ra $A = 2{x^2}$.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat H\left( { = 90^\circ } \right)\\\widehat B\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$.

c) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BHA$ có:

$\widehat {AHC} = \widehat {BHA}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat {CAH} = \widehat {ABH}$ (cùng phụ với $\widehat C$)

Suy ra $\Delta AHC\backsim \Delta BHA\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{AH}}$

suy ra $A{H^2} = HB.HC$

Nhân cả hai vế với HC, ta được:

$A{H^2}.HC = HB.H{C^2}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{H^2}}}{{H{C^2}}}$

Mà HD là đường phân giác của tam giác AHC nên $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$

Do đó $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}}$ (đpcm).

Xét tam giác ABC có $\widehat B = 180^\circ  - \left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 180^\circ  - \left( {50^\circ  + 40^\circ } \right) = 90^\circ$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {CAB} = \widehat {BAD}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat C = \widehat {ABD}$ (cùng phụ với $\widehat D$)

nên $\Delta ABC\backsim \Delta ADB\left( g.g \right)$

suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Do đó $A{B^2} = AD.AC$

Suy ra $AB = \sqrt {AD.AC}  = \sqrt {16.12,25}  = 14$

Vậy khoảng cách AB là 14m.