Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.$, $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.$; $d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.$.

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của $d$, $d'$ và $d''.$

b) Xét điểm $M\left( {4;1;1} \right)$ nằm trên $d$. Điểm $M$ có nằm trên $d'$ hoặc $d''$ không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa $d$ và $d'$, $d$ và $d''$?

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.$

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và $d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục $d$ của mũi khoan và trục $d'$ của giá đỡ có phương trình lần lượt là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 5 + 5t'\end{array} \right.$

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.$; $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y =  - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.$ và $d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y =  - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.$

a) Đường thẳng $d'$ và đường thẳng $d''$ có song song hay trùng với đường thẳng $d$ không?

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t =  - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.$ (ẩn $t$ và $t'$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d'.$

c) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t =  - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.$ (ẩn $t$ và $t''$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d''.$

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.$

b) $d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng $d$ trên trụ cầu và đường thẳng $d'$ trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.$.

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d'.$

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 7 + 4t'\\z = 9t'\end{array} \right.$.

a) Tìm vectơ chỉ phương $\vec a$ và $\vec a'$ lần lượt của $d$ và $d'.$

b) Tính tích vô hướng $\vec a.\vec a'$. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng $d$ và $d'?$

Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z =  - 6 + 2t\end{array} \right.$.

b) $d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}.$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian $Oxyz$. Cho biết trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d'$ có phương trình lần lượt là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.$. Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d'$, chúng có vuông góc với nhau không?