Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai đường thẳng $d$ và $d'$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = \left( {2;1;3} \right)$ và $\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)$.

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong không gian.

b) Vectơ $\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)$ có phải là một vectơ chỉ phương của $d$ không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và $d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.$

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.$.

c) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.$.

Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian $Oxyz$. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và $d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}$ (hình dưới đây).

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)$. Biết $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm $N$ và hình chiếu vuông góc của $d$ lên $\left( P \right)$ là đường thẳng $d'$. Qua $N$ vẽ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $\left( P \right)$ (hình dưới đây).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo hai góc $\alpha  = \left( {d,d'} \right)$; $\beta  = \left( {\Delta ,d} \right)$?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|$.

Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y =  - 11 + t\\z =  - 21 - 2t\end{array} \right.$ và $\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.$

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và $\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.$

c) $d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và $\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ $Oxyz$. Tính góc giữa tia sáng có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.$ và măt sàn sân khấu có phương trình $z = 0.$

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)$, $\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)$ (hình dưới dây).

Gọi $d$ và $d'$ là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$. Gốc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$. So sánh $\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)$ và $\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).$

Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {P'} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.$

b) $\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.$

c) $\left( P \right):x + z + 3 = 0$ và $\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.$

Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Cho biết $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {1;0;0} \right)$, $D\left( {0;5;0} \right)$, $A'\left( {0;0;3} \right)$. Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng $AC$ và $BA'.$

b) hai mặt phẳng $\left( {BB'D'D} \right)$ và $\left( {AA'C'C} \right).$

c) đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $\left( {A'BD} \right).$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ $Oxyz$. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng $\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0$ và mặt sàn $\left( Q \right):z - 1 = 0.$