Đề bài

A. TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu a // b và $\left( \alpha  \right) \bot a$ thì $\left( \alpha  \right) \bot b$.

B. Nếu $\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)$ và $a \bot \left( \alpha  \right)$ thì $a \bot \left( \beta  \right)$.

C. Nếu $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt và $a \bot \left( \alpha  \right)$, $a \bot \left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)$.

D. Nếu $a\parallel \left( \alpha  \right)$ và $b \bot a$ thì $b \bot \left( \alpha  \right)$.

Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số $y = 3\cos x + 1$.

A. $y' = 3\sin x$

B. $y' =  - 3\sin x + 1$

C. $y' =  - 3\sin x$

D. $y' =  - \sin x$

Câu 3: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{\left| {x - 1} \right|}}$.

A. 5                               B. 0

C. $+ \infty$                D. -5

Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\3a - 5b - 1\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Tìm điều kiện của tham số a và b để hàm số liên tục tại điểm $x = 0$.

A. $2a - 6b = 1$ 

B. $2a - 4b = 1$

C. $16a - 33b = 6$

D. $a - 8b = 1$

Câu 5: Cho hàm số $y = {\sin ^2}x$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $4y.{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} =  - 2{\sin ^2}2x$

B. $4y{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} = 0$

 C. $2\sin x - y' = 0$

D. ${\sin ^2}x + y' = 1$

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy ABCD là hình vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$

B. $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

C. $AC \bot \left( {SAB} \right)$

D. $BD \bot \left( {SAD} \right)$

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số $y = 3{x^2} - 2x + 1$.

A. $dy = 6x - 2$

B. $dy = \left( {6x - 2} \right)dx$

C. $dx = \left( {6x - 2} \right)dy$

D. $dy = 6x - 2dx$

Câu 8: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = {t^3} + 5{t^2} - 5$, trong đó $t > 0$, t được tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ (giây).

A. 32 m/s                       B. 22 m/s

C. 27 m/s                       D. 28 m/s

Câu 9: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 5}}{{x - 1}}$.

A. 3                               B. 1

C. -5                              D. $+ \infty$

Câu 10: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và $SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

A. $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$

B. $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}$

C. $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = a$

D. $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Câu 11: Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

B. $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

C. $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

D. $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

Câu 12: Tính $\lim \frac{{5n + 1}}{{3n + 7}}$.

A. $\frac{5}{7}$           B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{1}{7}$           D. $0$

Câu 13: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{1}{{x + 2}}$.

A. $y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$

B. $y'' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$

C. $y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$

D. $y'' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$

Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng A’B và CB’. Tính $\alpha$.

A. $\alpha  = {30^0}$    B. $\alpha  = {45^0}$

C. $\alpha  = {60^0}$    D. $\alpha  = {90^0}$

Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số $y = {x^3} - 2x$.

A. $y' = 3x - 2$

B. $y' = 3{x^2} - 2$

C. $y' = {x^3} - 2$

D. $y' = 3{x^2} - 2x$

B. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Tìm $\lim \frac{{5 + n}}{{4 - n}}$.

b) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  - 2}}{{x - 3}}$.

c) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 7x + 10}}{{x - 5}}\,\,\,khi\,\,x \ne 5\\\,\,\,\,\,2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 5\end{array} \right.$. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục tại $x = 5$

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 1$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) Tính đạo hàm của hàm số trên.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$.

Bài 3 (2,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; các cạnh bên của hình chóp cùng bằng $a\sqrt 3$.

a) Chứng minh rằng $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P).

c) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).