Đề bài

Bài 1: (1,5 điểm) Tìm các giới hạn sau:

1) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}}$

2) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + 2x - {x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2} + 5}}$

3) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 3}}{{x - 3}}$

Bài 2: (1,0 điểm) Tìm $m$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} - 5}  - \sqrt {2x - 2} }}{{2{x^2} - 6x}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.$ liên tục tại ${x_0} = 3$.

Bài 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) $y = \frac{{\sin x}}{x}$

2) $y = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^5} + 3x - 1} \right)$

Bài 4: (1,0 điểm) Cho hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 1}$. Chứng minh $y = \left( {{x^2} + 1} \right)y'' + xy'$.

Bài 5: (1,5 điểm) Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:\,3x + y - 4 = 0$.

Bài 6: (4,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AD = 4a,\,\,AB = BC = 2a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SC = a\sqrt {10}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$.

1) Chứng minh $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

2) Xác định góc giữa $SC$ và $mp\left( {ABCD} \right)$.

3) Chứng minh $\left( {SBE} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

4) Tính khoảng cách từ $E$ đến $mp\left( {SCD} \right)$.