Đề bài

Câu 1: Cho hàm $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Tính$f'\left( {{x_0}} \right)$ bằng định nghĩa ta cần tính :

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$. B. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

C. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}}$.  D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{x}$.

Câu 2: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hàm số $y = 5{x^3} + x - 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số  $y = \frac{{3x - 5}}{{x + 3}}$  liên tục trên $\mathbb{R}$.

C. Hàm số $y = \frac{{2{x^2} - x}}{{x + 1}}$  liên tục trên khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $( - 1; + \infty )$

D. Hàm số $y = {x^5} + 3{x^3} + 5$  liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 3: Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$(tham khảo hình vẽ bên) có cạnh bằng 5 cm. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và HF ta được

A. $5\sqrt 3 \,cm$.       B. $5\,cm$.

C. $5\sqrt 2 \,cm$.        D. $9\,cm$.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2\sin x + 2020.$

A. $y' = 2\sin x$.

B. $y' =  - 2\cos x$.

C. $y' = 2\cos x$.

D. $y' =  - 2\sin x$.

Câu 5: Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là:

A. $\lim \,( - 3{n^4} + 3) =  - \infty$.

B. $\lim \,( - 3{n^4} + 3) = 0$.

C. $\lim \,( - {n^4} + 2) =  + \infty$.

D. $\lim \,(5{n^4} - 2) =  - \infty$.

Câu 6: Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 1.$ Tìm $dy.$

A. $dy = ({x^2} - 1)dx$.

B. $dy = ({x^3} - 3x + 1)dx$.

C. $dy = (3{x^2} - 3)dx$.

D. $dy = (3{x^3} - 3)dx$

Câu 7: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}$. Kết quả đúng là:

A. $3$                               B. $\frac{5}{2}$ .

C. $- 2$.                          D. $2$

Câu 8: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc (xem hình vẽ). Chọn khẳng định sai khi nói về hai mặt phẳng vuông góc.

A. $(OAB) \bot (ABC)$.

B. $(OAB) \bot (OAC)$.

C. $(OBC) \bot (OAC)$.

D. $(OAB) \bot (OBC)$.

Câu 9: Container của xe tải dùng để chở hàng hóa thường có dạng hình hộp chữ nhật. Chúng ta mô hình hóa thùng container bằng hình hộp chữ nhật $MNPQ.EFGH$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chọn khẳng định sai khi nói về hai đường thẳng vuông góc trong các khẳng định sau.

A. $HE \bot NF$.

B. $HE \bot MN$.

C. $HE \bot GP$.

D. $HE \bot QN$.

Câu 10: Cho hàm số$f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$. Tính $f''\left( x \right)$.

A. $f''\left( x \right) = 6x-6$.

B. $f''\left( x \right) = x-1$.

C. $f''\left( x \right) = {x^2} - 2x$.

D. $f''\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = 3{x^3}$.

A. $6{x^2}$.                  B. ${x^2}$.

C. $6x$.        D. $9{x^2}$.

Câu 12:  Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $\Delta A'B'C'$ vuông tại $B'$  (xem hình vẽ). Hỏi đường thẳng $B'C'$ vuông góc với mặt phẳng nào được liệt kê ở bốn phương án dưới đây ?

A. $(BB'A')$.                 B. $(AA'C')$.

C. $(ABC)$.           D. $(ACC')$.

Câu 13: Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (tham khảo hình vẽ). Tính tổng ba véctơ $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}$ ta được

A. $\overrightarrow {AG}$.                             B. $\overrightarrow {AH}$.

C. $\overrightarrow {AF}$.    D. $\overrightarrow {AC}$.

Câu 14: Trong hình học không gian thì hình nào bên dưới là hình biểu diễn của hình vuông qua phép chiếu song song ?

Câu 15: Vi phân của hàm số$y\,\, = \,\cos 2x + \cot x$ là:

A. $dy\,\, = \,\,\left( { - 2\cos 2x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx$

B. $dy\,\, = \,\,\left( {2\sin 2x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx$.

C. $dy\,\, = \,\,\left( { - 2\cos 2x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx$.

D. $dy\,\, = \,\,\left( { - 2\sin 2x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx$.

Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các giới hạn dưới đây:

A. $\lim \frac{{3{n^2} - 14}}{{10n + 2}} = \frac{3}{{10}}$.

B. $\lim \frac{{5n - 4}}{{{n^2} - 1}} = 5$.

C. $\lim \frac{{ - 2{n^2} - 1}}{{5{n^2} - 8}} =  - \frac{2}{5}$.

D. $\lim \frac{{{n^2} - 5}}{{n + 4}} = 0$.

Câu 17: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + x - 12}}{{x - 3}}$. Kết quả đúng là:

A. $- 7$.                          B. $0$

C. $7$                               D. $- 1$.

Câu 18: Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ và đường thẳng $\Delta$ khác d. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Đường thẳng $\Delta \,{\rm{//}}\,d$ thì $\Delta  \bot (\alpha )$.

B. Đường thẳng $\Delta \,{\rm{//}}\,d$ thì $\Delta \,{\rm{//}}\,(\alpha )$.

C. Đường thẳng $\Delta \,{\rm{//}}\,(\alpha )$ thì $\Delta \, \bot \,d$.

D. Đường thẳng $\Delta  \bot (\alpha )$  thì $\Delta \,{\rm{//}}\,d$.

Câu 19: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?

A. Hai mặt phẳng vuông góc thì chúng cắt nhau.

B. Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc.

C. Hai mặt phẳng vuông góc thì góc của chúng bằng $90^\circ$.

D. Hai mặt phẳng có góc bằng $90^\circ$ thì chúng vuông góc.

Câu 20: Cho hàm số$f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{12}}$. Tính $f''\left( 0 \right)$.

A. $f''\left( x \right) = 132$.

B. $f''\left( 0 \right) = 528$. 

C. $f''\left( 0 \right) = 240$.  

D. $f''\left( 0 \right) = 264$. 

Câu 21: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 0$ là:

A. $1$.                              B. $- 2$.

C. $- 1$.                          D. $2$.

Câu 22: Tìm số gia $\Delta y$ của hàm số $y = {x^2}$ biết ${x_0} = 3$ và $\Delta x =  - 1.$

A. $\Delta y = 13$.       B. $\Delta y = 7$.

C. $\Delta y =  - 5$.      D. $\Delta y = 16$ .

Câu 23: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + x} \right)$. Kết quả đúng là:

A. $0$                               B. $- \infty$.

C. $+ \infty$.                D. $2$

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6 cm. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(SCD)$

A. $5\sqrt 6 \,cm$. B. $15\sqrt 6 \,cm$.

C. $2\sqrt 6 \,cm$. D. $4\sqrt 6 \,cm$.

Câu 25: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}$. Nếu$y' > 0$ thì x thuộc tập hợp nào sau đây:

A. $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

B. $\left( { - 3; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

C. $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right)$.

D. $\left( { - 3; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right)$.

Câu 26: Chọn kết quả sai trong các giới hạn dưới đây:

A. $\lim \frac{{{{5.4}^n} + {{7.2}^n} - {3^n}}}{{{{4.4}^n} - {{2.3}^n}}} = \frac{5}{4}$.

B. $\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} + 4}  - n}}{{{n^2}}} = 0$.

C. $\lim \frac{{{3^n} + {{4.5}^n} - {8^n}}}{{{{3.8}^n} + {{2.6}^n}}} =  - \frac{1}{3}$.

D. $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 4}  + n}}{n} = 3$.

Câu 27: Cho hàm số $y = \cos \sqrt {2{x^2} - x + 7}$. Khi đó $y'$ bằng  

A. $y' =  - \sin \sqrt {2{x^2} - x + 7}$.

B. $y' = (1 - 4x)\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7}$.

C. $y' = \frac{{\left( {1 - 4x} \right)\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7} }}{{2\sqrt {2{x^2} - x + 7} }}$.

D. $y' = \left( {2{x^2} - x + 7} \right)\sin \sqrt {2{x^2} - x + 7}$.

Câu 28: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy.  Biết góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt đáy bằng ${60^0}$ cạnh $AB = 4cm;\,\,BC = 6cm;\,\,CA = 8cm$. Tính độ dài cạnh SA của hình chóp.

A. $\sqrt 5 \,cm$.          B. $2\sqrt 3 \,cm$.

C. $6\sqrt 3 \,cm$.        D. $3\sqrt 5 \,cm$.

Câu 29: Gọi (C) là đồ thị của hàm số$y = {(x - 1)^3}$. Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng $\Delta :12x - y - 2018 = 0$ có phương trình là:

A. $y =  - 12x - 4$ và $y =  - 12x + 4.$

B. $y = 12x + 28$ và $y = 12x - 4$.

C. $y =  - 12x - 28$ và $y = 12x + 28$.

D. $y = 12x - 28$ và  $y = 12x + 4$.

Câu 30:  Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2b{x^2} - 4\,\,\,khi\,\,\,x \le 3\\\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi giá trị của b  là:

A. $\frac{1}{{18}}$ .    B.  $2$

C. $18$                             D.  $\frac{1}{2}$.

II. PHẦN TỰ LUẬN (4.0 điểm) (Học sinh viết bài làm vào giấy, ghi rõ mã đề)

Bài 1: (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{4n + 9}}{{6n - 7}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{2 - 5x - 3{x^2}}}{{2x + 4}}$.

Bài 2: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số:

a)$y = {x^3} + 4{x^2} - 2x + 1$ tại ${x_0} =  - 4$

b) $y = \sqrt {7 + 5{{\cot }^4}{x^4}}$

Bài 3: (0,5 điểm) Cho hàm của các hàm số

$y = \frac{{m-1}}{{12}}{x^4}-\frac{{m + 1}}{3}{x^3}$$+ \frac{{{\rm{3(}}m - 2)}}{2}{x^2} + 7x + 2020$

Tìm $m$ để  $y'' < 0$ vô nghiệm.

Bài 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$, có $ABCD$ là hình vuông tâm O  có cạnh $a$, $SA = a\sqrt 5$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$.       

a) Chứng minh rằng:  $CD \bot \left( {SAD} \right)$.

b) Chứng minh rằng:  $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

c) Tính khoảng cách giữa $AB$ và $\left( {SCD} \right)$.