I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang với đáy bé bằng $5\,cm,$ đáy lớn bằng $7\,cm$ và hai cạnh bên lần lượt bằng $3\,cm;\,4cm.$ Biết chiều cao của hình lăng trụ đứng đó là $8\,cm.$ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng đó là:

     A. $152\,c{m^2}$              B. $76\,c{m^2}$                    C. $159\,c{m^2}$                  D. $159\,cm$   

Câu 2: Cho $A$ là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho $A$ không thuộc BC. Khẳng định nào dưới đây sai?

     A. $\angle ABC = \angle ACB$                                       B. $AB = AC$                     C. Tam giác ABC đều       D. Tam giác ABC cân tại đỉnh $A$.

Câu 3: Một tổ học sinh của lớp 7A có 4 bạn nam và 4 bạn nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng để kiểm tra bài tập. Tìm xác suất biến cố sau: “Bạn được gọi lên là bạn nam”?

     A. $\dfrac{1}{3}$.              B. $\dfrac{1}{8}$.              C. $\dfrac{1}{4}$.              D. $\dfrac{1}{2}$.

Câu 4: Biểu thức ${x^2} + 2x$ tại $x = {\rm{ \;}} - 1$ có giá trị là:

     A. $- 3$                            B. $- 1$                            C. $3$                              D. $0$

Câu 5: Cho tam giác ABC, có $\angle A = {90^0};\angle C = {30^0}$. Khi đó quan hệ giữa ba cạnh AB,AC,BC là:

     A. $BC > AB > AC$             B. $AC > AB > BC$             C. $AB > AC > BC$             D. $BC > AC > AB$

Câu 6:  Điểm $I$ nằm trên tia phân giác góc $\widehat {\rm{A}}$ của $\Delta ABC$ thì:

     A. $I$ nằm trên đường phân giác góc $\hat B$.        B. $I$ cách đều hai cạnh AB,AC.           

     C. $I$ nằm trên đường phân giác góc $\hat C$.        D. $IB = IC$.

Câu 7: Giá trị $x = {\rm{ \;}} - 1$ là nghiệm của đa thức nào sau đây?

     A. $f\left( x \right) = x + 1$ B. $f\left( x \right) = x - 1$  C. $f\left( x \right) = 2x + \dfrac{1}{2}$       D. $f\left( x \right) = {x^2} + 1$

Câu 8: Hệ số cao nhất của đa thức $5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7$ là:

     A. $6$                               B. $7$                               C. $4$                               D. $5$

II. TỰ LUẬN

Câu 1

Ba đội máy cày, cày trên ba cánh đồng có diện tích như nhau. Đội một hoàn thành công việc trong $4$  ngày, đội hai hoàn thành công việc trong $6$ ngày, đội ba hoàn thành công việc trong $8$ ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết đội một nhiều hơn đội hai $6$máy và năng suất các máy như nhau.

Câu 2:

Cho các đa thức:

$A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3$

$B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x$

$C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Câu 3: Tìm x biết $2{x^2} + 3x - 8 - \left( {x + 5} \right)\left( {2x - 6} \right) = 24$

Câu 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm $D$ sao cho $AD = AH.$ Gọi $E$ và $M$ lần lượt là trung điểm của HCvà DC, gọi $F$ là giao điểm của DE và AC.

a) Chứng minh rằng ba điểm $H,{\mkern 1mu} F,{\mkern 1mu} M$ thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng $HF = \dfrac{1}{3}DC$ .

c) Gọi $P$ là trung điểm AH. Chứng minh $EP \bot DB$.

d) Chứng minh $BP \bot DC$ và $CP \bot DB.$

Câu 5: Chứng minh rằng đa thức $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 2$ không có nghiệm.

I. Trắc nghiệm

Câu 1:

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tứ giác là ${S_{xq}} = C.h$ (trong đó $C$ là chu vi đáy và $h$ là chiều cao của hình lăng trụ)

Bước 1: Tính chu vi đáy của hình lăng trụ đứng

Bước 2: Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng

Cách giải:

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng đã cho là: $C = 5 + 7 + 3 + 4 = 19\left( {cm} \right)$

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tứ giác đó là: ${S_{xq}} = C.h = 19.8 = 152\,c{m^2}$

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong một tam giác cân, hai góc đáy bằng nhau.

Tính chất về đường trung trực của một đoạn thẳng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Cách giải:

Vì $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên $AB = AC$ (tính chất về đường trung trực của một đoạn thẳng)

Suy ra $\Delta ABC$ cân tại đỉnh $A$ (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow \angle ABC = \angle ACB$ (tính chất của tam giác cân)

Vậy phát biểu: Tam giác ABC đều là sai.

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Xác định số kết quả có thể xảy ra của biến cố.

Cách giải:

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố bạn được gọi là nam.

Có 8 bạn nên xác suất là: $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.

Chọn D.

Câu 4:

Phương pháp:

Thay $x = {\rm{ \;}} - 1$ vào biểu thức ${x^2} + 2x$ để tính.

Cách giải:

Thay x =  - 1 vào biểu thức ${x^2} + 2x$, ta có: ${\left( { - 1} \right)^2} + 2.\left( { - 1} \right) = 1 + \left( { - 2} \right) = {\rm{ \;}} - 1$.

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Cách giải:

Xét $\Delta ABC$ có: $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

                    $\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {{90}^0} + \angle B + {{30}^0} = {{180}^0}}\\{ \Rightarrow \angle B + {{120}^0} = {{180}^0}}\\{ \Rightarrow \angle B = {{60}^0}}\end{array}$

Ta có: $\angle C < \angle B < \angle A$ (vì ${30^0} < {60^0} < {90^0}$)

$\Rightarrow AB < AC < BC$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Chọn D.

Câu 6:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 2 cạnh của góc.

Cách giải:

I nằm trên tia phân giác của góc A thì I cách đều 2 cạnh AB, AC.

Chọn B.

Câu 7:

Phương pháp:

Nếu $x = a$ là nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ nếu $f\left( a \right) = 0$

Cách giải:

Thay $x = {\rm{ \;}} - 1$ vào đa thức $f\left( x \right) = x + 1$, ta được: $f\left( { - 1} \right) = \left( { - 1} \right) + 1 = 0$

Vậy $x = {\rm{ \;}} - 1$ là nghiệm của đa thức $f\left( x \right) = x + 1$.

Chọn A.

Câu 8:

Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa hệ số cao nhất của đa thức: “hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.”

Cách giải:

Hệ số cao nhất của đa thức $5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7$ là 5.

Chọn D.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Câu 1

Phương pháp:

- Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Gọi số máy của ba đội lần lượt là $a,b,c\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Vì trong cùng một cánh đồng số máy và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: $a.4 = b.6 = c.8 = k\;$.

Ta có $a.4 = b.6 \Rightarrow \dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4}$ và $a - b = 6$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

$\begin{array}{l}\dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{{a - b}}{{6 - 4}} = \dfrac{6}{2} = 3\\ + )\,\,\dfrac{a}{6} = 3 \Rightarrow a = 3.6 = 18\,\,\left( {tmdk} \right)\\ + )\,\,\dfrac{b}{4} = 3 \Rightarrow b = 3.4 = 12\,\,\left( {tmdk} \right)\end{array}$

Vì $b.6 = c.8 \Rightarrow c = \dfrac{{b.6}}{8} = \dfrac{{12.6}}{8} = 9\,\,\left( {tmdk} \right)$

Vậy số máy của đội 1, đội 2 và đội 3 lần lượt là $18\,;\,\,12\,;\,\,9$ máy.

Câu 2

Phương pháp:

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Cách giải:

a) Thu gọn:

$\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}$

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}$

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: $C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$.

Vì ${x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x$ và ${x^2} > 0,\,\forall \,x$ nên $C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.$

$\Rightarrow$ không có giá trị nào của $x$ làm cho $C\left( x \right) = 0$.

$\Rightarrow \,C\left( x \right)$ là đa thức không có nghiệm.

Câu 3

Phương pháp:

Nhân đa thức một biến sau đó rút gọn rồi tìm x.

Cách giải:

$\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 3x - 8 - \left( {x + 5} \right)\left( {2x - 6} \right) = 24}\\{ \Rightarrow 2{x^2} + 3x - 8 - \left( {2{x^2} - 6x + 10x - 30} \right) = 24}\\{ \Rightarrow 2{x^2} + 3x - 8 - \left( {2{x^2} + 4x - 30} \right) = 24}\\{ \Rightarrow 2{x^2} + 3x - 8 - 2{x^2} - 4x + 30 = 24}\\{ \Rightarrow {\rm{ \;}} - x + 22 = 24}\\{ \Rightarrow {\rm{ \;}} - x = 2}\\{ \Rightarrow x = {\rm{ \;}} - 2.}\end{array}$

Vậy x = $- 2$.

Câu 4

Phương pháp:

a) Chứng minh $F$ là trọng tâm của $\Delta DHC$, khi đó suy ra được H,F,M cùng nằm trên 1 đường thẳng.

b) Chỉ ra $HM = \dfrac{1}{2}DC$, mà $HM = \dfrac{3}{2}HF;$ $\Rightarrow \dfrac{3}{2}HF = \dfrac{1}{2}DC \Rightarrow HF = \dfrac{1}{3}DC.$

c) Chứng minh $\Delta PHE = \Delta ICE$(c.g.c), để chỉ ra $AP = IC$, $\angle APC{\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} \angle PCI$; rồi chứng minh $\Rightarrow \Delta APC = \Delta ICP\left( {g.c.g} \right)$

$\Rightarrow \angle ACP = \angle IPC \Rightarrow PE//AC$

Mà $AB \bot AC \Rightarrow PE \bot AB$.

d) Chứng minh: $P$ là trực tâm của $\Delta BDC$$\Rightarrow CP \bot BD$.

Cách giải:

a) Xét $\Delta DHC$ có hai đường trung tuyến CA và DE cắt nhau tại $F$

$\Rightarrow F$ là trọng tâm của $\Delta DHC$.

Mà HM là đường trung tuyến $\Rightarrow F{\mkern 1mu}  \in {\mkern 1mu} HM$

Hay ba điểm $H,{\mkern 1mu} F,{\mkern 1mu} M$ thẳng hàng.

b) $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DC.

$\Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}DC$.

Mà $HM = \dfrac{3}{2}HF \Rightarrow \dfrac{3}{2}HF = \dfrac{1}{2}DC \Rightarrow HF = \dfrac{1}{3}DC.$

c) Trên tia đối của tia EP lấy điểm $I$ sao cho $EP = EI$

Xét $\Delta PHE$ và $\Delta ICE$ có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{EH = EC}\\{EP = EI}\end{array}$

$\angle PEH = \angle IEC$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta PHE = \Delta ICE$(c.g.c)

$\Rightarrow PH = IC = AP$

Và $\angle PHE = \angle ECI \Rightarrow AH//IC \Rightarrow \angle APC = \angle PCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {so{\mkern 1mu} le{\mkern 1mu} trong} \right)$

Xét $\Delta APC{\mkern 1mu}$ và $\Delta ICP$ có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{PC{\mkern 1mu} chung}\\{AP = IC}\\{\angle APC = \angle PCI}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta APC = \Delta ICP\left( {g.c.g} \right)$

$\Rightarrow \angle ACP = \angle IPC \Rightarrow PE//AC$

Mà $AB \bot AC \Rightarrow PE \bot AB$.

d) Chứng minh $BP \bot DC$

Xét $\Delta ABE$ có hai đường cao AH cắt EP tại $P$

$\Rightarrow P$ là trực tâm của $\Delta ABE$

$\Rightarrow BP \bot AE$ mà $AE//DC$

$\Rightarrow BP \bot DC$

Xét $\Delta BDC$ có hai đường cao DH cắt BP tại $P$

$\Rightarrow P$ là trực tâm của $\Delta BDC$

$\Rightarrow CP \bot BD$.

Câu 5:

Phương pháp:

Chứng minh đa thức luôn dương

Cách giải:

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 2$

                   $\begin{array}{*{20}{l}}{ = {x^2} + x + x + 1 + 1}\\{ = \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {x + 1} \right) + 1}\\{ = x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) + 1}\\{ = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1}\\{ = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1 > 0}\end{array}$

Vì $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 2 > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0$ vô nghiệm