Phần I: Trắc nghiệm (3 điểm). Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1: Số $\dfrac{{ - 4}}{{ - 5}}$ được biểu diễn trên trục số bởi hình vẽ nào dưới đây?

A. 

B. 

C.

D. 

Câu 2: Số hữu tỉ x thoả mãn $x - \left( {\dfrac{5}{4} - \dfrac{7}{5}} \right) = \dfrac{9}{{20}}$ là:

A. $\dfrac{5}{2}$

B. $\dfrac{3}{{10}}$

C. $\dfrac{7}{6}$

D. $\dfrac{{ - 5}}{{17}}$

Câu 3: Tính $- 23,\left( 2 \right) + \dfrac{3}{7} + 13,\left( 2 \right) - \dfrac{{10}}{7}$ bằng:

A. $- 9$.

B. $- 11,\left( 4 \right)$.

C. $- 11$.

D. $- 35,\left( 4 \right)$.

Câu 4: Cho hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ sao cho $\angle xOy = \dfrac{2}{3}\angle xOy'$. Tính số đo $\angle xOy'$?

A. ${36^0}$

B. ${72^0}$

C. ${108^0}$

D. ${18^0}$

Câu 5: Cho tia On là tia phân giác của $\angle mOt$. Biết $\angle mOn = {70^\circ }$, số đo của $\angle mOt$ là:

A. ${140^0}$

B. ${120^0}$

C. ${35^0}$

D. ${60^0}$

Câu 6: Cho định lí: “Nếu hai đường thẳng song song cắt đường thẳng thứ ba thì hai góc đồng vị bằng nhau’ (xem hình vẽ dưới đây). Giả thiết của định lí là:

A. $a//b,a \bot c$

B. $a//b,c \cap a = \left\{ A \right\},c \cap b = \left\{ B \right\}$

C. $a//b,a//c$

D. $a//b,c$ bất kì

Phần II. Tự luận (7 điểm):

Bài 1: (2,0 điểm)

Thực hiện phép tính hợp lí:

a) $\dfrac{5}{{14}} - 3,7 - \dfrac{{19}}{{14}} + \dfrac{8}{9} - 6,3$

b) $\dfrac{{11}}{{24}} - \dfrac{5}{{41}} + \dfrac{{13}}{{24}} + 0,5 - \dfrac{{36}}{{41}}$

c) $\dfrac{{{{2.6}^9} - {2^5}{{.18}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}$

d) $\dfrac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt 4 }} + \dfrac{{\sqrt {225} }}{{\sqrt {144} }} - 3,5$

Bài 2: (2,0 điểm)

Tìm $x,$ biết:

a) $- \dfrac{2}{3} + 2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = 1$

b) $\left( {2x - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}x} \right)\left( {{x^2} + 5} \right) = 0$

c) ${\left( {{5^x}} \right)^2} = {25^{11}}$

d) $\dfrac{3}{4}x + \sqrt {0,04} = \dfrac{1}{5}.\sqrt {0,25}$

Bài 3: Bác Thu mua ba món hàng ở một siêu thị. Món hàng thứ nhất giá 125 000 đồng và được giảm giá 30%, món hàng thứ hai giá 300 000 đồng và được giảm giá 15%, món hàng thứ ba được giảm giá 12,5%. Tổng số tiền bác Thu phải thanh toán là 692 500 đồng. Hỏi giá tiền món hàng thứ ba lúc chưa giảm giá là bao nhiêu?

Bài 4: (1,0 điểm)

Tìm số đo của góc $QRS$ trong hình vẽ bên dưới, biết $aa'//bb'.$

Bài 5: Tìm số nguyên $x$ sao cho biểu thức sau là số nguyên: $A = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

c) $\dfrac{{{{2.6}^9} - {2^5}{{.18}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}$

$= \dfrac{{{{2.6}^9} - {2^5}.{{\left( {3.6} \right)}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{{2.6}^9} - {2^5}{{.3}^4}{{.6}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}\\ = \dfrac{{{{2.6}^9} - 2.{{\left( {2.3} \right)}^4}{{.6}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}\\ = \dfrac{{{{2.6}^9} - {{2.6}^4}{{.6}^4}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}\\ = \dfrac{{{{2.6}^9} - {{2.6}^8}}}{{{2^2}{{.6}^8}}}\\ = \dfrac{{{{2.6}^8}.\left( {6 - 1} \right)}}{{{{2.2.6}^8}}} = \dfrac{5}{2}\end{array}$

d)  $\dfrac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt 4 }} + \dfrac{{\sqrt {225} }}{{\sqrt {144} }} - 3,5$

$= \dfrac{{\sqrt {{7^2}} }}{{\sqrt {{2^2}} }} + \dfrac{{\sqrt {{{15}^2}} }}{{\sqrt {{{12}^2}} }} - 3,5$

$\begin{array}{l} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{{15}}{{12}} - \dfrac{7}{2}\\ = \left( {\dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{2}} \right) + \dfrac{{15}}{{12}}\\ = 0 + \dfrac{{15}}{{12}} = \dfrac{{15}}{{12}} = \dfrac{5}{4}\end{array}$

Bài 2:

Phương pháp:

a) Vận dụng quy tắc chuyển vế tìm $x$

b) $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$

Trường hợp 1: Giải $A\left( x \right) = 0$

Trường hợp 2: Giải $B\left( x \right) = 0$

c) Lũy thừa của một lũy thừa:

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$

${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$

d) Tính căn bậc hai; Vận dụng quy tắc chuyển vế tìm $x$

Cách giải:

a) $- \dfrac{2}{3} + 2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = 1$

$\begin{array}{l}2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3}\\2\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{5}{3}\\x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{3}:2\\x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\\x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6}\\x = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{1}{3}$

b) $\left( {2x - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}x} \right)\left( {{x^2} + 5} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$2x - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}x = 0$

$\begin{array}{l}\left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right)x - \dfrac{2}{3} = 0\\\left( {\dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2}} \right)x = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{2}x = \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{2}{3}:\dfrac{5}{2} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{5}\\x = \dfrac{4}{{15}}\end{array}$

Trường hợp 2:

${x^2} + 5 = 0$

Vì ${x^2} \ge 0$ với mọi số thực $x$.

Nên ${x^2} + 5 \ge 5$ với mọi số thực $x$.

Suy ra ${x^2} + 5 > 0$ với mọi số thực $x$.

Do đó, không có $x$ thỏa mãn ${x^2} + 5 = 0$.

Vậy $x = \dfrac{4}{{15}}$

c) ${\left( {{5^x}} \right)^2} = {25^{11}}$

$\begin{array}{l}{5^{x.2}} = {\left( {{5^2}} \right)^{11}}\\{5^{2x}} = {5^{2.11}} = {5^{22}}\\ \Rightarrow 2x = 22\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 11\end{array}$

Vậy $x = 11$

d) $\dfrac{3}{4}x + \sqrt {0,04}  = \dfrac{1}{5}.\sqrt {0,25}$

$\begin{array}{l}\dfrac{3}{4}x + \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2}}  = \dfrac{1}{5}.\sqrt {{{\left( {0,5} \right)}^2}} \\\dfrac{3}{4}x + 0,2 = \dfrac{1}{5}.0,5 = 0,1\\\dfrac{3}{4}x = 0,1 - 0,2\\\dfrac{3}{4}x =  - 0,1 = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\x = \dfrac{{ - 1}}{{10}}:\dfrac{3}{4} = \dfrac{{ - 1}}{{10}}.\dfrac{4}{3}\\x = \dfrac{{ - 2}}{{15}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{ - 2}}{{15}}$

Bài 3:

Phương pháp:

Tính tiền món hàng thứ nhất, thứ hai sau giảm

Tính tiền món hàng thứ ba sau giảm = tổng số tiền bác Thu thanh toán – (số tiền món hàng thứ nhất sau giảm + số tiền món hàng thứ hai sau giảm)

Số tiền món hàng thứ ba chưa giảm = số tiền sau giảm: (100% –  % được giảm giá)

Cách giải:

Bác Thu mua món hàng thứ nhất với giá sau giảm là:

$125\,000.\left( {100\%  - 30\% } \right) = 87\,500$ (đồng)

Bác Thu mua món hàng thứ hai với giá sau giảm là:

$300\,000.\left( {100\%  - 15\% } \right) = 255\,000$ (đồng)

Món hàng thứ ba bác Thu mua với giá sau giảm là:

$692\,500 - 87\,500 - 255\,000 = 350\,000$ (đồng)

Vì món hàng thứ ba bác Thu mua được giảm giá 12,5% nên giá ban đầu của món hàng là:

$350\,000 : (100\% - 12,5\%) = 400\,000$ (đồng)

Vậy giá tiền món hàng thứ ba lúc chưa giảm giá là $400\,000$ đồng.

Bài 4:

Phương pháp:

Vận dụng dấu hiệu và tính chất của hai đường thẳng song song.

Vận dụng kiến thức của hai góc kề nhau.

Cách giải:

Kẻ $Rb'$ là tia đối của tia $Rb$

Ta có: $\angle QRb + \angle QRb' = {180^0}$ (hai góc kề bù) nên $\angle QRb' = {180^0} - \angle QRb = {180^0} - {150^0} = {30^0}$

Suy ra $\angle dQa' = \angle QRb'$ (cùng bằng ${30^0}$). Mà $\angle dQa',\angle QRb'$ ở vị trí đồng bị nên $aa'//bb'$.

Do $aa'//bb'$ nên $\angle dPc' = \angle dQa' = {30^0}$ (hai góc đồng vị). Vì vậy $\angle dPc' = \angle QRb'$ (cùng bằng ${30^0}$).

Mà $\angle dPc',\angle QRb'$ ở vị trí đồng vị nên $cc'//bb'$.

Suy ra $\angle SRb' + \angle RSc' = {180^0}$ (hai góc trong cùng phía) hay $\angle SRb' = {180^0} - \angle RSc' = {180^0} - {130^0} = {50^0}$

Do hai góc $QRb'$ và $SRb'$ là hai góc kề nhau nên $\angle QRS = \angle QRb' + \angle SRb' = {30^0} + {50^0} = {80^0}$

Bài 5:

Phương pháp:

Để $P = \dfrac{{M\left( x \right)}}{{n\left( x \right)}}$ có giá trị nguyên

+ Bước 1: Biến đổi $P = m\left( x \right) + \dfrac{k}{{n\left( x \right)}}$. Trong đó $k$ là số nguyên

+ Bước 2: Lập luận: Để $P$ có giá trị nguyên thì $k \vdots n\left( x \right)$ hay $n\left( x \right) \in$Ư$\left( k \right)$

+ Bước 3: Lập bảng giá trị và kiểm tra $x$ với điều kiện đã tìm

+ Bước 4: Kết luận

Cách giải:

$A = \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  - 3}}$ (điều kiện: $x \ge 0$)

      $= \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 8}}{{\sqrt x  - 3}}$

      $\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \dfrac{8}{{\sqrt x  - 3}}\\ = 1 + \dfrac{8}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}$

Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{8}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}$   

Vì $x \in \mathbb{Z}$ suy ra $\sqrt x  \in \mathbb{Z}$ ($x$ là số chính phương) hoặc $\sqrt x  \in I$ (là số vô tỉ)

TH1: $\sqrt x  \in I$ là số vô tỉ $\Rightarrow \sqrt x  - 3$ là số vô tỉ

                                        $\Rightarrow \dfrac{8}{{\sqrt x  - 3}}$ là số vô tỉ (Loại)

TH2: $\sqrt x  \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x  - 3 \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{8}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 8 \vdots \left( {\sqrt x  - 3} \right)$ hay $\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in$Ư$\left( 8 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy để $A$có giá trị nguyên thì $x \in \left\{ {1;4;16;25;49;121} \right\}$