Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1

Phương pháp:

Đưa số thập phân về phân số.

Cách giải:

Ta có: $- 0,125 =  - \dfrac{{125}}{{1000}} =  - \dfrac{1}{8}$

Vậy phân số biểu diễn số hữu tỉ $- 0,125$ là $- \dfrac{1}{8}$.

Chọn B.

Câu 2

Phương pháp:

Vận dụng công thức tính lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: ${\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}$

${\left( { - a} \right)^{2.k}} = {a^{2.k}}\left( {k \in N} \right)$

Cách giải:

${\left( { - 0,08} \right)^4}{.10^4} = {\left( { - 0,08.10} \right)^4} = {\left( { - 0,8} \right)^4} = 0,{8^4}$

Chọn A.

Câu 3

Phương pháp:

So sánh từng số hạng của tổng.

Cách giải:

Ta có: $2 = \sqrt {{2^2}}  = \sqrt 4 \,\,;\,\,6 = \sqrt {{6^2}}  = \sqrt {36}$

Vì $4 > 2$ nên $\sqrt 4  > \sqrt 2$ hay $2 > \sqrt 2$

     $37 > 36$ nên $\sqrt {37}  > \sqrt {36}$ hay $\sqrt {37}  > 6$

Do đó, $2 + \sqrt {37}  > 6 + \sqrt 2$

Chọn A.

Câu 4

Phương pháp:

Tính giá trị tuyệt đối của một số thực, tính căn bậc hai của một số thực.

Thực hiện so sánh các số để sắp xếp thứ tự các số.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| { - 3} \right| =  - \left( { - 3} \right) = 3\\\left| {\dfrac{{ - 22}}{6}} \right| =  - \left( {\dfrac{{ - 22}}{6}} \right) = \dfrac{{22}}{6} = \dfrac{{11}}{3}\\\sqrt {\dfrac{{128}}{2}}  = \sqrt {64}  = \sqrt {{8^2}}  = 8\end{array}$

Ta có: $3 = \dfrac{9}{3}\,\,;\,\,8 = \dfrac{{24}}{3}$

Vì $9 < 11 < 24$ nên $\dfrac{9}{3} < \dfrac{{11}}{3} < \dfrac{{24}}{3}$ hay $3 < \dfrac{{11}}{3} < 8$

Mặt khác, ta có: $3 = \sqrt {{3^2}}  = \sqrt 9$

Vì $6 < 9$ nên $\sqrt 6  < \sqrt 9$ hay $\sqrt 6  < 3$

Do đó, $\sqrt 6  < 3 < \dfrac{{11}}{3} < 8$

Mà $- \dfrac{7}{3} < 0$ nên ta có: $- \dfrac{7}{3} < \sqrt 6  < 3 < \dfrac{{11}}{3} < 8$ hay $- \dfrac{7}{3} < \sqrt 6  < \left| { - 3} \right| < \left| {\dfrac{{ - 22}}{6}} \right| < \sqrt {\dfrac{{128}}{2}}$

Vậy thứ tự tăng dần của các số là: $- \dfrac{7}{3}\,\,;\,\,\sqrt 6 \,;\,\,\left| { - 3} \right|\,\,\,;\,\,\left| {\dfrac{{ - 22}}{6}} \right|\,\,;\,\,\sqrt {\dfrac{{128}}{2}}$.

Chọn B.

Câu 5

Phương pháp:

$Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ thì ta có: $\angle xOz = \angle zOy = \dfrac{{\angle xOy}}{2}$

Cách giải:

Vì $Om$ là tia phân giác của góc $xOz$ nên $\angle zOm = \dfrac{{\angle xOz}}{2}$ hay $\angle xOz = 2.\angle zOm$

Vì $On$ là tia phân giác của góc $zOy$ nên $\angle nOz = \dfrac{{\angle zOy}}{2}$ hay $\angle zOy = 2.\angle nOz$

Vì $\angle xOz$ và $\angle zOy$ là hai góc kề bù nên $\angle xOy + \angle zOy = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2.\angle zOm + 2.\angle nOz = {180^0}\\ \Rightarrow 2.\left( {\angle zOm + \angle nOz} \right) = {180^0}\\ \Rightarrow \angle zOm + \angle nOz = {180^0}:2\\ \Rightarrow \angle zOm + \angle nOz = {90^0}\end{array}$

Vì $Oz$ nằm giữa hai tia $Om$ và $On$ nên $\angle zOm + \angle nOz = \angle mOn = {90^0}$

Vậy $\angle mOn = {90^0}$

Chọn C.

Câu 6

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Cách giải:

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau $\Rightarrow y = \dfrac{a}{x}\left( {a \ne 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = \dfrac{a}{5} \Rightarrow a = 10.5 = 50$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ so với $x$ là $50$.

Ta có: $y = \dfrac{{50}}{x}$, khi $x = 2$ thì $y = \dfrac{{50}}{2} = 25$.

Chọn B.

Câu 7

Phương pháp:

Diện tích hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là $a,b$ được tính theo công thức: $S = \dfrac{{a.b}}{2}$

Thể tích hình lăng trụ đứng tứ giác có chiều cao $h$ và diện tích đáy $S$ được tính theo công thức: $V = S.h$

Cách giải:

Diện tích đáy của hình lăng trụ đó là: $S = \dfrac{{18.30}}{2} = 270\,\left( {c{m^2}} \right)$

Thể tích của hình lăng trụ đó là: $V = 270.20 = 5\,400\,\left( {c{m^3}} \right)$

Chọn A.

Câu 8

Phương pháp:

Hình lăng trụ đứng tam giác là hình hai mặt đáy là hình tam giác song song với nhau, ba mặt bên là các hình chữ nhật, các cạnh bên song song và bằng nhau.

Hình lăng trụ đứng tứ giác là hình hai mặt đáy là hình tứ giác song song với nhau, bốn mặt bên là các hình chữ nhật, các cạnh bên song song và bằng nhau.

Cách giải:

Từ các hình đã cho, ta thấy:

+ Hình vẽ b), c) là hình lăng trụ đứng tứ giác.

+ Hình vẽ d) là hình lăng trụ đứng tam giác.

Vậy hình vẽ b), c) và d) là các hình lăng trụ đứng tam giác hoặc lăng trụ đứng tứ giác.

Chọn A.

Câu 9

Phương pháp:

Ta áp dụng thứ tự thực hiện phép tính để tìm $x$.

Cách giải:

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{7}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{3}}\\{\dfrac{5}{3}x = \dfrac{1}{{21}}}\\{x = \dfrac{1}{{21}}:\dfrac{5}{3}}\\{x = \dfrac{1}{{35}}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{1}{{35}}.$

Chọn D.

Câu 10

Phương pháp:

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên lập được dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm được $x$.

Cách giải:

Đổi $10km = 10\,000m$

Gọi số gam trong $10\,000m$ dây đồng là $x\left( g \right)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên ta có:

$\dfrac{{43}}{5} = \dfrac{x}{{10\,000}}$

Suy ra $x = \dfrac{{43}}{5}.10\,000 = 86\,000\left( g \right) = 86\left( {kg} \right)$

Vậy $10km$ dây đồng nặng $86kg$

Chọn A.

Phần II. Tự luận:

Bài 1

Phương pháp:

a) Thực hiện các phép toán với các số hữu tỉ

b) Vận dụng quy tắc tính lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$.

Vận dụng quy tắc tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số: Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\left( {x \ne 0;m \ge n} \right)$.

c) Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Tính toán với căn bậc hai của một số thực

Vận dụng quy tắc tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số: Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\left( {x \ne 0;m \ge n} \right)$.

d) Tính toán với căn bậc hai của một số thực

Cách giải:

a) $\left( { - \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3}} \right):\dfrac{5}{{11}} + \left( { - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{5}{{11}}$

$\begin{array}{l} = \left( { - \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3}} \right).\dfrac{{11}}{5} + \left( { - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}} \right).\dfrac{{11}}{5}\\ = \left( { - \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{{ - 1}}{4} + \dfrac{1}{3}} \right).\dfrac{{11}}{5}\\ = \left[ {\left( { - \dfrac{3}{4} + \dfrac{{ - 1}}{4}} \right) + \left( {\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}} \right)} \right].\dfrac{{11}}{5}\\ = \left( {\dfrac{{ - 4}}{4} + \dfrac{3}{3}} \right).\dfrac{{11}}{5}\\ = \left( { - 1 + 1} \right).\dfrac{{11}}{5}\\ = 0.\dfrac{{11}}{5} = 0\end{array}$

b) $\dfrac{{{{27}^{10}}{{.16}^{25}}}}{{{6^{30}}{{.32}^{15}}}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{10}}.{{\left( {{2^4}} \right)}^{25}}}}{{{{\left( {2.3} \right)}^{30}}.{{\left( {{2^5}} \right)}^{15}}}} = \dfrac{{{3^{3.10}}{{.2}^{4.25}}}}{{{2^{30}}{{.3}^{30}}{{.2}^{5.15}}}}\\ = \dfrac{{{3^{30}}{{.2}^{100}}}}{{{2^{30}}{{.3}^{30}}{{.2}^{75}}}} = \dfrac{{{2^{100}}}}{{{2^{30 + 75}}}}\\ = \dfrac{{{2^{100}}}}{{{2^{105}}}} = \dfrac{1}{{{2^5}}} = \dfrac{1}{{32}}\end{array}$

c) $\left| {\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{{10}}} \right| - \sqrt {\dfrac{{36}}{{25}}}  + {\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^5}:{\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^4}$

$\begin{array}{l} = \left| {\dfrac{6}{{10}} - \dfrac{1}{{10}}} \right| - \dfrac{6}{5} + {\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^{5 - 4}}\\ = \left| {\dfrac{5}{{10}}} \right| - \dfrac{6}{5} + {\left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)^1}\\ = \dfrac{5}{{10}} - \dfrac{{12}}{{10}} + \dfrac{3}{{10}}\\ = \dfrac{{ - 4}}{{10}} = \dfrac{{ - 2}}{5}\end{array}$

d) $\sqrt {144}  + \sqrt {49}  - 10\sqrt {\dfrac{4}{{25}}}$

$\begin{array}{l} = 12 + 7 - 10.\dfrac{2}{5}\\ = 19 - 4\\ = 15\end{array}$

Bài 2

Phương pháp:

a) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ, vận dụng quy tắc chuyển vế tìm $x$

b) Vận dụng tính chất hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

Giải ${\left[ {A\left( x \right)} \right]^2} = {a^2} = {\left( { - a} \right)^2}$

Trường hợp 1: $A\left( x \right) = a$

Trường hợp 2: $A\left( x \right) =  - a$

c) Vận dụng kiến thức căn bậc hai số học của số thực, tìm $x$

d) $\left| x \right| = a$

Trường hợp $a < 0$, khi đó phương trình không có nghiệm $x$

Trường hợp $a > 0$, vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Cách giải:

a) $\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{4}{5} + x} \right) = 1\dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{5} + x = \dfrac{3}{2}\\x = \dfrac{3}{2} - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{4}{5}\\x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{5}\\x = \dfrac{4}{2} - \dfrac{4}{5}\\x = 2 - \dfrac{4}{5}\\x = \dfrac{{10}}{5} - \dfrac{4}{5}\\x = \dfrac{6}{5}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{6}{5}$

b)  $\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}$

$\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x =  - 4$

c) $5.\sqrt x  - \sqrt {\dfrac{1}{{25}}}  = 0$

$\begin{array}{l}5.\sqrt x  - \dfrac{1}{5} = 0\\5.\sqrt x  = \dfrac{1}{5}\\\sqrt x  = \dfrac{1}{5}:5 = \dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{25}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{{25}}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow x = \dfrac{1}{{625}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{1}{{625}}$

d) $\left| {0,3 - x} \right| = \dfrac{1}{3}$

$\left| {\dfrac{3}{{10}} - x} \right| = \dfrac{1}{3}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}\dfrac{3}{{10}} - x = \dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{3}{{10}} - \dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{9}{{30}} - \dfrac{{10}}{{30}}\\x = \dfrac{{ - 1}}{{30}}\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{{ - 1}}{{30}};\dfrac{{19}}{{30}}} \right\}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}\dfrac{3}{{10}} - x = \dfrac{{ - 1}}{3}\\x = \dfrac{3}{{10}} - \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}} \right)\\x = \dfrac{9}{{30}} + \dfrac{{10}}{{30}}\\x = \dfrac{{19}}{{30}}\end{array}$