Phần I: Trắc nghiệm:

Câu 1

Phương pháp:

Số đối của số hữu tỉ $a$ kí hiệu là $- a$.

Cách giải:

Số đối của $\dfrac{{ - 7}}{{12}}$ là: $- \left( {\dfrac{{ - 7}}{{12}}} \right) = \dfrac{7}{{12}}$

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp so sánh trung gian.

Cách giải:

+ Ta có: $37 < 41$ nên $\dfrac{{37}}{{41}} < 1$ suy ra $\dfrac{{ - 37}}{{41}} >  - 1$         (1)

              $23 > 17$ nên $\dfrac{{23}}{{17}} > 1$ suy ra $\dfrac{{23}}{{ - 17}} <  - 1$          (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\dfrac{{23}}{{ - 17}} <  - 1 < \dfrac{{ - 37}}{{41}}$, do đó, $\dfrac{{ - 37}}{{41}} > \dfrac{{23}}{{ - 17}}$

Vậy đáp án A đúng.

Chọn A.

Câu 3

Phương pháp:

Căn bậc hai số học của số $a$ không âm là số $x$ không âm sao cho ${x^2} = a$.

Sử dụng tính chất: ${x^2} = {\left( { - x} \right)^2}$

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - \dfrac{2}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{2}{3}$ nên đáp án A,C,D đúng

Do chỉ tồn tại căn bậc hai số học của một số không âm nên đáp án B sai.

Chọn B.

Câu 4

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực, tìm phát biểu sai.

Cách giải:

Phát biểu A đúng vì giá trị tuyệt đối của một số thực là một số không âm.

Phát biểu B đúng vì hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

Phát biểu C đúng vì hai số đối nhau có điểm biểu diễn cách đều điểm gốc 0 nên giá trị tuyệt đối của chúng bằng nhau.

Phát biểu D sai vì giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

Chọn D.

Câu 5

Phương pháp:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$, viết là $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Cách giải:

+ Cặp tỉ số: $\dfrac{7}{{12}}$ và $\dfrac{5}{6};\dfrac{4}{3}$

Ta có: $\dfrac{5}{6} = \dfrac{{10}}{{12}};\dfrac{4}{3} = \dfrac{{16}}{{12}}$

Vì $\dfrac{7}{{12}} \ne \dfrac{{10}}{{12}} \ne \dfrac{{16}}{{12}}$ nên $\dfrac{7}{{12}} \ne \dfrac{5}{6} \ne \dfrac{4}{3}$ do đó cặp tỉ số $\dfrac{7}{{12}}$ và $\dfrac{5}{6};\dfrac{4}{3}$ không lập thành một tỉ lệ thức, loại đáp án A.

+ Cặp tỉ số: $\dfrac{{15}}{{21}}$ và $\dfrac{{135}}{{175}}$

Ta có: $\dfrac{{15}}{{21}} = \dfrac{5}{7}\, = \dfrac{{25}}{{35}};\,\dfrac{{135}}{{175}} = \dfrac{{27}}{{35}}$

Vì $\dfrac{{25}}{{35}} \ne \dfrac{{27}}{{35}}$ nên $\dfrac{{15}}{{21}} \ne \dfrac{{135}}{{175}}$ do đó cặp tỉ số $\dfrac{{15}}{{21}}$ và $\dfrac{{135}}{{175}}$ không lập thành một tỉ lệ thức, loại đáp án B.

+ Cặp tỉ số: $\dfrac{{ - 1}}{3}$ và $\dfrac{{ - 19}}{{57}}$

Ta có: $\dfrac{{ - 19}}{{57}} = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Vì hai tỉ số đã cho đều bằng $\dfrac{{ - 1}}{3}$ nên cặp tỉ số $\dfrac{{ - 1}}{3}$ và $\dfrac{{ - 19}}{{57}}$ lập thành một tỉ lệ thức, chọn đáp án C.

Chọn C.

Câu 6

Phương pháp:

Gọi khối lượng ngô có thể mua được là $x$ (kg)

Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch, lập tỉ lệ thức.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tìm $x$.

Cách giải:

Gọi khối lượng ngô có thể mua được là $x$ (kg)

Vì với cùng một số tiền thì khối lượng mua được và giá của loại hàng đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$\dfrac{x}{{96}} = \dfrac{{giá \,\,1\,\,kg\,\,gạo}}{{giá \,\,1\,\,kg\,\,ngô }} = \dfrac{{100\% }}{{48\% }} = \dfrac{{100}}{{48}} = \dfrac{{25}}{{12}}$

Suy ra $x = 96.\dfrac{{25}}{{12}} = 200$ (kg)

Vậy với số tiền mua được 96 kg gạo có thể mua được 200 kg ngô.

Chọn C.

Câu 7

Phương pháp:

Thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy là $a$, chiều rộng đáy là $b$ và chiều cao là $c:V = abc$

Thể tích của hình lập phương có một cạnh là $a:V = {a^3}$

Cách giải:

Thể tích ban đầu của khối gỗ là: ${V_1} = 20.12.10 = 2400\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích phần khối gỗ cắt bỏ đi là: ${V_2} = {5^3} = 125\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích phần còn lại của khối gỗ là: $V = {V_1} - {V_2} = 2400 - 125 = 2275\,\left( {c{m^3}} \right)$

Chọn B.

Câu 8

Phương pháp:

Hình lăng trụ đứng tứ giác là hình có hai mặt đáy cùng là tứ giác và song song với nhau; các mặt bên đều là hình chữ nhật; các cạnh bên bằng nhau.

Cách giải:

Trong 4 hình vẽ, ta nhận thấy Hình 4 là hình lăng trụ đứng tứ giác.

Chọn D.

Câu 9

Phương pháp:

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: Nếu … thì ….

Cách giải:

Phát biểu định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng kia.

Chọn A.

Câu 10

Phương pháp

$Oz$ là tia phân giác của $\angle xOy$ thì ta có: $\angle xOz = \angle zOy = \dfrac{{\angle xOy}}{2}$

$\angle xOz$ và $\angle zOy$ là hai góc kề nhau thì ta có: $\angle xOz + \angle zOy = \angle xOy$.

$\angle xOz$ và $\angle zOy$ là hai góc kề bù thì ta có: $\angle xOy = \angle xOz + \angle zOy = {180^0}$

Cách giải:

Vì $Om$ là tia phân giác của $\angle xOy$ nên $\angle mOy = \dfrac{{\angle xOy}}{2} = \dfrac{{{{50}^0}}}{2} = {25^0}$

Ta có: $\angle nOy$ và $\angle yOx$ là hai góc kề bù nên $\angle nOy + \angle yOx = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle nOy + {50^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \angle nOy = {180^0} - {50^0} = {130^0}\end{array}$

Ta có: $\angle nOy$ và $\angle yOm$ là hai góc kề nhau nên $\angle nOy + \angle yOm = \angle nOm$

$\Rightarrow {130^0} + {25^0} = {155^0} = \angle nOm$

Vậy $\angle mOn = {155^0}$

Chọn B.

Phần II. Tự luận (7 điểm):

Bài 1

Phương pháp:

a) Đổi số thập phân sang phân số

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

b) Lũy thừa của một số hữu tỉ: ${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\,\,\left( {b \ne 0;n \in \mathbb{Z}} \right)$

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

c) Tính căn bậc hai số học của một số thực

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

d) Lũy thừa của một số hữu tỉ: ${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\,\,\left( {b \ne 0;n \in \mathbb{Z}} \right)$

Tính căn bậc hai số học của một số thực

Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

Cách giải:

a) $\dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3}:\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + \dfrac{1}{2}.{\left( { - 0,5} \right)^0}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right) + \dfrac{1}{2}.1\\ = \dfrac{2}{9} + \dfrac{{ - 2}}{9} + \dfrac{1}{2}\\ = 0 + \dfrac{1}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}$

b) ${\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^2} - \dfrac{5}{8}:{\left( {0,5} \right)^3} - \dfrac{5}{3}.\left( { - 6} \right)$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{2^2}}} - \dfrac{5}{8}:{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} - 5.\left( { - 2} \right)\\ = \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{8}:\dfrac{{{1^3}}}{{{2^3}}} - \left( { - 10} \right)\\ = \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{8}:\dfrac{1}{8} + 10\\ = \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{8}.\dfrac{8}{1} + 10\\ = \dfrac{1}{4} - 5 + 10 = \dfrac{1}{4} + 5\\ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{20}}{4} = \dfrac{{21}}{4}\end{array}$

c) $\sqrt {0,04}  + \sqrt {0,25}  + 2,31$

$\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {0,5} \right)}^2}}  + 2,31\\ = 0,2 + 0,5 + 2,31\\ = 3,01\end{array}$

d) $\left| {\sqrt {169}  - \sqrt {900} } \right| - \left| {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right|:{\left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

$\begin{array}{l} = \left| {\sqrt {{{13}^2}}  - \sqrt {{{30}^2}} } \right| - \dfrac{5}{4}:{\left( {\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6}} \right)^2}\\ = \left| {13 - 30} \right| - \dfrac{5}{4}:{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2}\\ = \left| { - 17} \right| - \dfrac{5}{4}:\dfrac{1}{{36}}\\ = 17 - \dfrac{5}{4}.36\\ = 17 - 45\\ =  - 28\end{array}$

Bài 2

Phương pháp:

a) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

b) Giải ${\left[ {A\left( x \right)} \right]^2} = {a^2} = {\left( { - a} \right)^2}$

Trường hợp 1: $A\left( x \right) = a$

Trường hợp 2: $A\left( x \right) =  - a$

c) Tính căn bậc hai số học của số thực

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

d) $\left| x \right| = a$

Trường hợp $a < 0$, khi đó phương trình không có nghiệm $x$

Trường hợp $a > 0$, vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Cách giải:

a) $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{5}\left( {x - 1} \right) = 0$

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{5}x - \dfrac{2}{5} = 0\\x.\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{2}{5}\\x.\left( {\dfrac{5}{{15}} + \dfrac{6}{{15}}} \right) = \dfrac{2}{5}\\x.\dfrac{{11}}{{15}} = \dfrac{2}{5}\\x = \dfrac{2}{5}:\dfrac{{11}}{{15}}\\x = \dfrac{2}{5}.\dfrac{{15}}{{11}}\\x = \dfrac{6}{{11}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{6}{{11}}$

b) ${\left( {2x + 1} \right)^2} = \dfrac{{36}}{{25}}$

${\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^2} = {\left( { - \dfrac{6}{5}} \right)^2}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x + 1 = \dfrac{6}{5}\\2x = \dfrac{6}{5} - 1 = \dfrac{6}{5} - \dfrac{5}{5}\\2x = \dfrac{1}{5}\\x = \dfrac{1}{5}:2 = \dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{{10}}\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{1}{{10}};\dfrac{{ - 11}}{{10}}} \right\}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x + 1 = - \dfrac{6}{5}\\2x = \dfrac{{ - 6}}{5} - 1 = \dfrac{{ - 6}}{5} - \dfrac{5}{5}\\2x = \dfrac{{ - 11}}{5}\\x = \dfrac{{ - 11}}{5}:2 = \dfrac{{ - 11}}{5}.\dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{ - 11}}{{10}}\end{array}$

c) $\dfrac{1}{2}x + \sqrt {0,04} = \sqrt {1,96}$

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x + \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1,4} \right)}^2}} \\\dfrac{1}{2}x + 0,2 = 1,4\\\dfrac{1}{2}x = 1,4 - 0,2 = 1,2\\x = 1,2:\dfrac{1}{2} = 1,2.2\\x = 2,4\end{array}$

Vậy $x = 2,4$.

d) $\left| {\left| {2x - 1} \right| + \dfrac{1}{2}} \right| = \dfrac{4}{5}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{5}\\\left| {2x - 1} \right| = \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{{10}} - \dfrac{5}{{10}}\\\left| {2x - 1} \right| = \dfrac{3}{{10}}\end{array}$

*$2x - 1 = \dfrac{3}{{10}}$

$\begin{array}{l}2x = \dfrac{3}{{10}} + 1 = \dfrac{3}{{10}} + \dfrac{{10}}{{10}}\\2x = \dfrac{{13}}{{10}}\\x = \dfrac{{13}}{{10}}:2 = \dfrac{{13}}{{10}}.\dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{13}}{{20}}\end{array}$

*$2x - 1 = \dfrac{{ - 3}}{{10}}$

$\begin{array}{l}2x = \dfrac{{ - 3}}{{10}} + 1 = \dfrac{{ - 3}}{{10}} + \dfrac{{10}}{{10}}\\2x = \dfrac{7}{{10}}\\x = \dfrac{7}{{10}}:2 = \dfrac{7}{{10}}.\dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{7}{{20}}\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{4}{5}\\\left| {2x - 1} \right| = - \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 8}}{{10}} - \dfrac{5}{{10}}\\\left| {2x - 1} \right| = \dfrac{{ - 13}}{{10}}\end{array}$

Vì $\dfrac{{ - 13}}{{10}} < 0$ nên không có $x$ thỏa mãn $\left| {2x - 1} \right| = \dfrac{{ - 13}}{{10}}$.

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{{13}}{{20}};\dfrac{7}{{20}}} \right\}$