c) Giải: $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$

Trường hợp 1: Giải $A\left( x \right) = 0$

Trường hợp 2: Giải $B\left( x \right) = 0$

Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

d) vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Cách giải:

a) $\left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {4x + \dfrac{1}{3}} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$3{x^2} + 1 = 0$

Vì ${x^2} \ge 0$ với mọi $x$ nên $3{x^2} \ge 0$ với mọi $x$

Do đó, $3{x^2} + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$

Vậy không có $x$ thỏa mãn $3{x^2} + 1 = 0$.

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}4x + \dfrac{1}{3} = 0\\4x = \dfrac{{ - 1}}{3}\\x = \dfrac{{ - 1}}{3}:4 = \dfrac{{ - 1}}{3}.\dfrac{1}{4}\\x = \dfrac{{ - 1}}{{12}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{ - 1}}{{12}}$

b) ${\left( {x - \dfrac{3}{5}} \right)^2} = \dfrac{4}{3}:\dfrac{1}{3}$

$\begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{3}{5}} \right)^2} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{3}{1} = 4\\{\left( {x - \dfrac{3}{5}} \right)^2} = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2}\end{array}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x - \dfrac{3}{5} = 2\\x = 2 + \dfrac{3}{5}\\x = \dfrac{{10}}{5} + \dfrac{3}{5}\\x = \dfrac{{13}}{5}\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{{13}}{5};\dfrac{{ - 7}}{5}} \right\}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x - \dfrac{3}{5} =  - 2\\x =  - 2 + \dfrac{3}{5}\\x = \dfrac{{ - 10}}{5} + \dfrac{3}{5}\\x = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array}$

c) $\left( {x + 2.\sqrt {16} } \right).\left| {2x + 3} \right| = 0$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x + 2.\sqrt {16}  = 0\\x + 2.4 = 0\\x + 8 = 0\\x =  - 8\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}\left| {2x + 3} \right| = 0\\2x + 3 = 0\\2x =  - 3\\x =  - 3:2\\x = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ { - 8;\dfrac{{ - 3}}{2}} \right\}$

d) $\left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| - 0,75 = 1\dfrac{1}{4}$

$\begin{array}{l}\left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4}\\\left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| = \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4}\\\left| {x - \dfrac{2}{3}} \right| = \dfrac{8}{4} = 2\end{array}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x - \dfrac{2}{3} = 2\\x = 2 + \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{8}{3}\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x - \dfrac{2}{3} = - 2\\x = - 2 + \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{{ - 6}}{3} + \dfrac{2}{3}\\x = \dfrac{{ - 4}}{3}\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{8}{3};\dfrac{{ - 4}}{3}} \right\}$

Bài 3.

Phương pháp:

a) Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

b) Hai góc kề bù có tổng số đo bằng ${180^0}$.

Vận dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

c) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hai đường thẳng song song.

Cách giải:

a) Vì $BE//AC$ (giả thiết) nên $\angle ABE = \angle BAC$ (hai góc so le trong)

Vì $AB//CF$ (giả thiết) nên $\angle ACF = \angle BAC$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\angle ABE = \angle ACF$ (vì cùng bằng $\angle BAC$)

b) Vì $AB//CF$ (giả thiết) nên $\angle ABC = \angle FCx = {60^0}$ (hai góc đồng vị)

Ta có $\angle BCF$ và $\angle FCx$ là hai góc kề bù nên $\angle BCF + \angle FCx = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BCF + {60^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \angle BCF = {180^0} - {60^0} = {120^0}\end{array}$

Xét tam giác $ABC$ có: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = {180^0}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {80^0} + {60^0} + \angle ACB = {180^0}\\ \Rightarrow {140^0} + \angle ACB = {180^0}\\ \Rightarrow \angle ACB = {180^0} - {140^0} = {40^0}\end{array}$

Vậy $\angle BCF = {120^0},\angle ACB = {40^0}$.

c) Ta có:

$Bx$ là tia phân giác của $\angle ABE$ (giả thiết) suy ra $\angle ABx = \dfrac{{\angle ABE}}{2} = \dfrac{{{{80}^0}}}{2} = {40^0}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

$Cy$ là tia phân giác của $\angle ACF$ (giả thiết) suy ra $\angle FCy = \dfrac{{ACF}}{2} = \dfrac{{{{80}^0}}}{2} = {40^0}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Ta có:

$\angle xAB$ và $\angle ABC$ là hai góc kề nhau nên $\angle BCx = \angle xAB + \angle ABC = {40^0} + {60^0} = {100^0}$

$\angle yCF$ và $\angle FCz$ là hai góc kề nhau nên $\angle yCz = \angle yCF + \angle FCz = {40^0} + {60^0} = {100^0}$

Vì $\angle BCx = \angle yCz = {100^0}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $Bx//Cy$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Bài 4.

Phương pháp:

a) Vận dụng định lý: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c).

b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hai đường thẳng song song.

c) Vận dụng định lý: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c).

Vận dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất bắc cầu.

Cách giải:

a) Vì $N$ là trung điểm của $AC$ nên $AN = NC$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta CQN$ có:

             $AN = NC$ (chứng minh trên)

             $\angle ANM = \angle CNQ$ (hai góc đối đỉnh)

             $NM = NQ$ (giả thiết)

Suy ra $\Delta AMN = \Delta CQN\,\left( {c.g.c} \right)$

b) Vì $\Delta AMN = \Delta CQN$ (chứng minh a), suy ra $\angle MAN = \angle QCN$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AM//QC$

Suy ra $MB//QC$ (điều phải chứng minh)

c) Vì $\Delta AMN = \Delta CQN$ (chứng minh a), suy ra $MA = QC$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có, $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA = MB$

Suy ra, $MB = QC$ (vì cùng bằng $MA$)

Vì $MB//QC$ (chứng minh b) nên $\angle BMC = \angle QCM$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta BMC$ và $\Delta QCM$ có:

             $MB = QC$ (chứng minh trên)

             $\angle BMC = \angle QCM$ (chứng minh trên)

             $MC$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta BMC = \Delta QCM\,\left( {c.g.c} \right)$$\Rightarrow BC = QM$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $NM = NQ \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}MQ$. Do đó, $MN = \dfrac{1}{2}BC$ (điều phải chứng minh)

Bài 5.

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức lũy thừa của một số và căn bậc hai số học của một số.

Cách giải:

$A = \sqrt {{{(x + 2)}^4} + 25}  + {\left( {1 - y} \right)^2} - 999$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^4} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^4} + 25}  \ge \sqrt {25}  = 5,\forall x \in \mathbb{R};\\{\left( {1 - y} \right)^2} \ge 0,\forall y \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^4} + 25}  + {\left( {1 - y} \right)^2} - 999 \ge 5 + 0 - 999 =  - 994,\forall x,y \in \mathbb{R}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0}\\{1 - y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $- 994$ khi $x =  - 2;y = 1$