Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1

Phương pháp:

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0$.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.

Cách giải:

Ta có:

+ $\dfrac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ nên phương án A. $\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Q}$ là sai do đó, loại đáp án A.

+ $\dfrac{{ - 8}}{0}$ không đúng với dạng số hữu tỉ (do mẫu số bằng $0$) nên phương án B. $\dfrac{{ - 8}}{0} \in \mathbb{Q}$ là sai do đó, loại đáp án B.

+ $5 = \dfrac{5}{1}$ là một số hữu tỉ và $5 \in \mathbb{Q}$ nên phương án C. $5 \notin \mathbb{Q}$ là sai do đó, loại đáp án C.

+ $\dfrac{4}{{ - 5}}$ là một số hữu tỉ nên $\dfrac{4}{{ - 5}} \in \mathbb{Q}$ do đó, phương án D đúng.

Chọn D.

Câu 2

Phương pháp:

Tính lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$

Tính tích của hai lũy thừa cùng cơ số: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}$

Cách giải:

${\left[ {{{\left( {0,3} \right)}^3}} \right]^4}.{\left( {0,3} \right)^3}$$= {\left( {0,3} \right)^{3.4}}.{\left( {0,3} \right)^3} = {\left( {0,3} \right)^{12}}.{\left( {0,3} \right)^3} = {\left( {0,3} \right)^{12 + 3}} = {\left( {0,3} \right)^{15}}$

Chọn C.                                

Câu 3

Phương pháp:

Đổi hỗn số sang phân số, từ phân số đổi sang số thập phân.

Tính căn bậc hai của một số.

Tính giá trị tuyệt đối của một số.

So sánh các số để sắp xếp thứ tự tăng dần của các số.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} = 2,25\\\sqrt {16}  = \sqrt {{4^2}}  = 4\\ - \left| { - \sqrt {196} } \right| =  - \left| {\sqrt {196} } \right| =  - \sqrt {196} \end{array}$

*Vì $2,25 < 4$ nên $2\dfrac{1}{4} < \sqrt {16}$   (*)

*Vì $83 < 196$ nên $\sqrt {83}  < \sqrt {196}$ suy ra $- \sqrt {83}  >  - \sqrt {196}$ hay $- \sqrt {83}  >  - \left| { - \sqrt {196} } \right|$    (1)

Vì $0,0\left( {51} \right) < 1 = \sqrt 1  < \sqrt {83}$ suy ra $- \sqrt {83}  <  - 1 <  - 0,0\left( {51} \right)$    (2)

Từ (1) và (2), suy ra $- \left| { - \sqrt {196} } \right| <  - \sqrt {83}  <  - 0,0\left( {51} \right)$    (**)

Từ (*) và (**), suy ra $- \left| { - \sqrt {196} } \right| <  - \sqrt {83}  <  - 0,0\left( {51} \right) < 2\dfrac{1}{4} < \sqrt {16}$

Vậy thứ tự tăng dần của các số là: $- \left| { - \sqrt {196} } \right|\,\,;\,\, - \sqrt {83} \,\,;\,\, - 0,0\left( {51} \right)\,\,;\,\,2\dfrac{1}{4}\,\,;\,\,\sqrt {16} .$

Chọn C.

Câu 4

Phương pháp:

+ Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau

Cách giải:

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta ODC$có:

$\angle ABO = \angle DCO$ (gt)

$BO = DO\,$(gt)                   

$\angle AOB = \angle COD\,$(đối đỉnh)

Vậy $\Delta OAB = \Delta ODC\,$(g.c.g)

$\Rightarrow \,\angle D = \angle A = 30^\circ$( 2 góc tương ứng)

Chọn C.

Câu 5

Phương pháp:

Vận dụng định lý: Tổng ba góc trong một tam giác bằng ${180^0}$.

Cách giải:

* Ta có: $\angle B - \angle C = {25^0} \Rightarrow \angle B = \angle C + {25^0}$

Xét $\Delta ABC$ có: $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {75^0} + \angle B + \angle C = {180^0}\\ \Rightarrow \angle B + \angle C = {180^0} - {75^0}\\ \Rightarrow \angle B + \angle C = {105^0}\\ \Rightarrow \angle C + {25^0} + \angle C = {105^0}\\ \Rightarrow 2\angle C + {25^0} = {105^0}\\ \Rightarrow 2\angle C = {105^0} - {25^0}\\ \Rightarrow 2\angle C = {80^0}\\ \Rightarrow \angle C = {80^0}:2\\ \Rightarrow \angle C = {40^0}\end{array}$

Vậy $\angle C = {40^0}$

Chọn A.

Câu 6

Phương pháp:

Đọc và mô tả dữ liệu của biểu đồ hình quạt tròn.

Số tiền thu được tương ứng = % tương ứng . toàn bộ số tiền thu được

Cách giải:

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè thảo dược là: $10\% .25 = 2,5$ (tỉ đồng)

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè xanh là: $78\% .25 = 19,5$ (tỉ đồng)

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè đen là: $12\% .25 = 3$ (tỉ đồng)

Ta có bảng số liệu thống kê số tiền công ty chè Phú Minh thu được ở mỗi loại chè 2020:

Chọn B.

Câu 7

Phương pháp:

Tiêu chí thống kê trong biểu đồ trên được biểu diễn trên trục thẳng đứng.

Cách giải:

Tiêu chí thống kê của biểu đồ trên là nhiệt độ.

Chọn D.

Câu 8

Phương pháp:

Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Cách giải:

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = 90^\circ$

$\Rightarrow \angle BAM = 90^\circ  - \angle CAM$

Và $\Delta ANC$ vuông tại $N$ nên $\angle ACN + \angle CAM = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \angle ACN = 90^\circ  - \angle CAM$

Do đó $\angle BAM = \angle ACN$

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta ACN$ có:

         $\angle BMA = \angle ANC = 90^\circ$

$\angle BAM = \angle ACN$ (cmt)

$AB = AC$ (gt)

Nên $\Delta BAM = \Delta ACN$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: $MA = NC$ (hai cạnh tương ứng) nên A đúng

             $BM = AN$ (hai cạnh tương ứng) nên B đúng

             $\angle ABM = \angle CAN$ (hai góc tương ứng) nên D đúng

Chọn C.

Câu 9

Phương pháp:

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Cách giải:

Từ các hình vẽ, ta nhận thấy Hình 3 là hình vẽ của hai góc đối đỉnh.

Chọn C.

Câu 10

Phương pháp:

Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Cách giải:

Vì $yy'//zz'$ nên $\angle xAy' = \angle xBz' = {60^0}$ (hai góc đồng vị)

Vì $\angle xBz'$ và $\angle zBx'$ là hai đối đỉnh nên $\angle xBz' = \angle zBx' = {60^0}$.

Vậy $\angle zBx' = {60^0}$

Chọn D.

Phần II. Tự luận (7 điểm):

Bài 1

Phương pháp:

a) Đổi hỗn số sang phân số.

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

b) Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}$

+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\left( {x \ne 0;m \ge n} \right)$

Lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}$

Tính ${\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}$

c) Tính căn bậc hai số học của một số thực

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

d) Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

Cách giải:

a) $\left( {2\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{4}{9}} \right):\left( {10\dfrac{1}{{12}} - 9,5} \right)$

$\begin{array}{l} = \left( {\dfrac{{17}}{6} + \dfrac{{13}}{9}} \right):\left( {\dfrac{{121}}{{12}} - \dfrac{{19}}{2}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{51}}{{18}} + \dfrac{{26}}{{18}}} \right):\left( {\dfrac{{121}}{{12}} - \dfrac{{114}}{{12}}} \right)\\ = \dfrac{{77}}{{18}}:\dfrac{7}{{12}} = \dfrac{{77}}{{18}}.\dfrac{{12}}{7}\\ = \dfrac{{22}}{3}\end{array}$

b) $\dfrac{{{{32}^3}{{.9}^5}}}{{{8^3}{{.6}^6}}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{{\left( {{2^5}} \right)}^3}.{{\left( {{3^2}} \right)}^5}}}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^3}.{{\left( {2.3} \right)}^6}}} = \dfrac{{{2^{5.3}}{{.3}^{2.5}}}}{{{2^{3.3}}{{.2}^6}{{.3}^6}}}\\ = \dfrac{{{2^{15}}{{.3}^{10}}}}{{{2^9}{{.2}^6}{{.3}^6}}} = \dfrac{{{2^{15}}{{.3}^{10}}}}{{{2^{9 + 6}}{{.3}^6}}}\\ = \dfrac{{{2^{15}}{{.3}^{10}}}}{{{2^{15}}{{.3}^6}}} = \dfrac{{{3^{10}}}}{{{3^6}}}\\ = {3^{10 - 6}} = {3^4} = 81\end{array}$

c) $\sqrt {64}  + 2\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  - 8.\sqrt {\dfrac{{25}}{{16}}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt {{8^2}}  + 2.\sqrt {{3^2}}  - 8.\sqrt {{{\left( {\dfrac{5}{4}} \right)}^2}} \\ = 8 + 2.3 - 8.\dfrac{5}{4}\\ = 8 + 6 - 10\\ = 4\end{array}$

d) $\left| {\dfrac{1}{{ - 5}}} \right| - \dfrac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{{\left| { - 5} \right|}} - \dfrac{{\left| 2 \right|}}{5}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}\\ = \dfrac{{ - 5}}{5} =  - 1\end{array}$

Bài 2

Phương pháp:

a) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

b) Biến đổi về dạng ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$

c) Tính căn bậc hai số học của số thực

Đổi hỗn số sang phân số

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

d) $\left| x \right| = a$

Trường hợp $a < 0$, khi đó phương trình không có nghiệm $x$

Trường hợp $a > 0$, vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.$

Cách giải:

a) $x - \dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{7}$

    $\begin{array}{l}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}:\dfrac{2}{7}\\x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\dfrac{2}{7} = 1\\x = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{2}$

b) ${3^{ - 1}}{.3^x} + {5.3^{x - 1}} = 162$ ($x$ là số nguyên)

    $\begin{array}{l}{3^{ - 1 + x}} + {5.3^{x - 1}} = 162\\{3^{x - 1}}.\left( {1 + 5} \right) = 162\\{3^{x - 1}}.6 = 162\\{3^{x - 1}} = 162:6\\{3^{x - 1}} = 27\\{3^{x - 1}} = {3^3}\\ \Rightarrow x - 1 = 3\\\,\,\,\,\,\,\,x = 3 + 1\end{array}$

      $x = 4$ (thỏa mãn $x$ là số nguyên)

Vậy $x = 4$