Giải bài tập 1 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)? A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3; - 1} \right)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\)

Giải mục 1 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu (Sleft( {I;R} right)) có tâm (Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính (R). Xét một điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thay đổi. a) Tính khoảng cách (IM) theo (x), (y), (z) và (a), (b), (c). b) Nêu điều kiện cần và đủ của (x), (y), (z) để điểm (Mleft( {x;y;z} right)) nằm trên mặt cầu (Sleft( {I;R} right)).

Giải mục 1 trang 44, 45, 46, 47 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \({M_0}\) cố định và vectơ \(\vec a\) khác \(\vec 0\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a\)?

Giải mục 1 trang 32, 33 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

a) Cho vectơ (vec n) khác (vec 0). Qua một điểm ({M_0}) cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (left( alpha right)) vuông góc với giá của vectơ (vec n)?

Giải bài tập 2 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)? A. \(y = 0\) B. \(x = 0\) C. \(y - z = 0\) D. \(z = 0\)

Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {rm{4 000}}z + {rm{4 099 900}} = 0). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Giải mục 2 trang 48, 49, 50, 51, 52, 53 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\). a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''\). b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không? c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luậ

Giải mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).

Giải bài tập 3 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 2;3} \right)\)? A. \(x - 2y + 3z - 12 = 0\) B. \(x - 2y - 3z + 6 = 0\) C. \(x - 2y + 3z + 12 = 0\) D. \(x - 2y - 3z - 6 = 0\)

Giải bài tập 1 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt cầu (left( S right)): a) Có tâm (Ileft( {7; - 3;0} right)), bán kính (R = 8). b) Có tâm (Mleft( {3;1; - 4} right)) và đi qua điểm (Nleft( {1;0;1} right)). c) Có đường kính (AB) với (Aleft( {4;6;8} right)) và (Bleft( {2;4;4} right)).

Giải mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).

Giải mục 3 trang 35, 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).

Giải bài tập 4 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 2z + 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\). Khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) bằng A. \(\frac{5}{{\sqrt {29} }}\) B. \(\frac{5}{{29}}\) C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\) D. \(\frac{5}{9}\)

Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).

Giải bài tập 1 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(a\) trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1; - 5;0} \right)\) b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 2;5} \right)\).

Giải mục 4 trang 38, 39, 40 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\). a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên. b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có đi qua \(M\) không. c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\).

Giải bài tập 5 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + 2z + 1 = 0\), \(\left( \beta \right):x + y - z + 2 = 0\) và \(\left( \gamma \right):x - y + 5 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\) B. \(\left( \gamma \right) \bot \left( \beta \right)\) C. \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\) D. \(\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\)

Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).

Giải bài tập 2 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {5; - 3;2} \right)\). b) Đường thẳng \(b\) đi qua hai điểm \(A\left( {4;7;1} \right)\) và \(B\left( {6;1;5} \right)\).

Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \(\left( \alpha \right)\)(hình dưới đây).

Giải bài tập 6 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)? A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) B. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2; - 1;3} \right)\) C. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 1;2;1} \right)\) D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\)

Giải bài tập 4 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiẻm đại dương có dạng hình cầu trong không gian (Oxyz). Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là (Ileft( {360;200;400} right)) và bán kính (r = 2{rm{ m}}). Viết phương trình mặt cầu.

Giải bài tập 1 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (Aleft( {2;0;0} right)) và nhận (vec n = left( {2;1; - 1} right)) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm (Bleft( {1;2;3} right)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = left( {1;2;3} right)) và (vec v = left( { - 2;0;1} right)). c) Đi qua ba điểm (Aleft( {1;0;0} right)), (Bleft( {0;2;0} right)) và (Cleft( {0;0;4} right)).

Giải bài tập 7 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\)? A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\) B. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\) C. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\) D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\)

Giải bài tập 5 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hoá lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (left( S right):{left( {x - 6} right)^2} + {left( {y - 6} right)^2} + {left( {z - 6} right)^2} = 25). Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (left( P right):z = 10). a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa. b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng của nắp.

Giải bài tập 4 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian (Oxyz), một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là (Mleft( {3;3;1,5} right)), (Nleft( {3;4;1,5} right)). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng (MN)).

Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.

Giải bài tập 8 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(d\)? A. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\\z = 5t'\end{array} \right.\) B. \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\) C. \({d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\) D. \({d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)

Giải bài tập 5 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\) b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Giải bài tập 3 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và song song với cạnh (AD).

Giải bài tập 9 trang 66 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai mặt phẳng (left( P right):2x - y - z - 3 = 0) và (left( Q right):x - z - 2 = 0). Góc giữa hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) bằng A. ({30^o}) B. ({45^o}) C. ({60^o}) D. ({90^o})

Giải bài tập 6 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d':\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).

Giải bài tập 4 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(C\left( {1; - 5;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 5y + 4z - 2024 = 0.\)

Giải bài tập 10 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\). Toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( S \right)\) là A. \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và \(R = 3\) B. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(R = 3\) C. \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và \(R = 9\) D. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(R = 9\)

Giải bài tập 7 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \(Oxyz\), cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\). a) Chứng minh \(a\), \(b\) vuông góc và cắt nhau. b) Tìm toạ độ giao điểm của \(a\) và \(b\).

Giải bài tập 5 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - y + z - 7 = 0.\)

Giải bài tập 11 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;0;4} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 3;0;0} \right)\) có phương trình là A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\) B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\) D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\)

Giải bài tập 8 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 7}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 7}}{3} = \frac{{z - 12}}{6}\).

Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\), \(\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\)

Giải bài tập 12 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\). a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Giải bài tập 9 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - 3z + 1 = 0\).

Giải bài tập 7 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M\left( {1; - 2;13} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 3 = 0.\)

Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện. b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\). c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Giải bài tập 10 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4y + 4z + 1 = 0\) và \(\left( {P'} \right):7x + 7z + 2 = 0\).

Giải bài tập 8 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( P \right):x - 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 8 = 0.\)

Giải bài tập 14 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \(M\left( {3;4;24} \right)\) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 4 = 0\).

Giải bài tập 11 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + z + 7 = 0\). a) Tính góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). b) Tính góc hợp bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) với mặt đất \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z = 0\).

Giải bài tập 9 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = 5a\), \(SA = 3a\). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)

Giải bài tập 15 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Giải bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ đứng \(OBC.O'B'C'\) có đáy là tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\). Cho biết \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Tính góc giữa: a) hai đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\). b) hai mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) và \(\left( {OBC} \right)\). c) đường thẳng \(B'C\) và mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\).

Giải bài tập 10 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ \(Oxyz\). Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) của một toà nhà, biết: \(\left( P \right):3x + y - z + 2 = 0\) \(\left( Q \right):6x + 2y - 2z + 11 = 0\) \(\left( R \right):x - 3y + 1 = 0\)

Giải bài tập 16 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài: Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như hình dưới đây. a) Tìm toạ độ các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\). c) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AC\). d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm \(M\left( {0;60;40} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Giải bài tập 17 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp chữ nhật (OABC.O'A'B'C'), với (O) là gốc toạ độ, (Aleft( {2;0;0} right)), (Cleft( {0;6;0} right)), (O'left( {0;0;4} right)). Viết phương trình: a) Mặt phẳng (left( {O'AC} right)) b) Đường thẳng (CO') c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.

Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).